高数：极限的定义
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目录
极限的定义
如何理解呢
极限的通俗理解
用数列的语言来说
当数列的项数n无限增大时数列的项要多接近就有多接近与a。
我们如何理解
答首先我们要清楚极限是一个无限的过程对于无限的过程我们要以有限的形式进行表达上图就是我们对于极限的有限表达。
|Xn-a|是什么意思
答首先要清楚Xn的意思是数列的第n项a表示我们的极限值所以 |Xn-a|表示我们数列的项和极限值的接近程度。
这是什么意思
答
为什么要使用'任意'符号
答:
这里是什么意思
答存在N让N以后的项无限接近于常数a这个N其实是不存在的因为极限是一个无限的过程我们假设N存在N之后的元素是无限接近于常数a的所以N只是用来刻画n无限增大以至于无限接近于常数a的这个过程。
数列极限的几何意义
等价于
这时候就形成一个领域
我们可以把N当作数列有限项与无限项的分割线
在N之后的数列中的项是放在领域之内的
在领域中的无限项表示无限接近于极限值a。
一句话总结数列极限的定义
由极限的定义得出的极限的两个结论
我们对结论1进行阐述
答a表示我们数列的极限当b<a时也就是b小于数列的极限存在N这个N之后的无限项全部无限接近于a值所以当n大于N时对应的项全部无限接近于a值而b<a则N之后所有的项都大于b。
我们对结论2进行阐述
答a表示数列的极限当c>a时也就是c大于数列的极限所以N之后的无限项全部无限接近于a值但是比a值小因为c值比a值大所以N之后的无限项全部小于c值。
极限的第三个结论
数列Xn的极限与数列的前n项无关。
Xn+1相当于去掉了数列的第一项数列的第一项并不影响我们的极限值。
所以
我们之前知道一个结论单调有界一定有极限。
单调有界不一定要从第一项就开始单调在某一段区间上单调他也有极限。
例题1
结果依然为1因为右式是数列Xn的奇数部分也是原来数列的部分项所以又叫右式为数列Xn的奇数列。
奇数列和偶数列都是原来数列的部分项所以奇数列和偶数列的极限也等于原数列的极限值a。
所以数列有极限可以推导出数列的奇数列和偶数列都有极限但是数列的奇数列或者偶数列都有极限可以推导出数列有极限吗
答并不能例如
数列的奇数列为
奇数列全为-1所以奇数列的极限值也为-1.
数列的偶数列为
偶数列全为1所以偶数列的极限值也为1.
虽然奇数列和偶数列都有极限值但是他们的极限值不同所以无法推导出数列有极限。
当奇数列和偶数列都有极限值并且奇数列和偶数列的极限值相同的情况下==>数列有极限。
答因为奇数列和偶数列虽然是数列的部分列但是这两个部分列的集合包括了数列的所有项所有的项的极限值都以a为极限则该数列的极限值为a。
例题
方法1 
方法2 
方法3
