积分上限函数求导总结

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情形一

$\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^xf(t){\rm d}\,t=f(x)$

情形二

$\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^{g(x)}f(t){\rm d}\,t=f(g(x))g'(x)$

情形三

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(x-t){\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=x-t}\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^0f(u){\rm d}\,-u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(u){\rm d}\,u=f(x) \end{aligned}$
不是每一道题都要像此处令 $u = x - t$ 应根据实际情况做适当换元。

例一

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xtf(2x-t){\rm d}\,t &\xlongequal{{\text 令}u=2x-t}-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{2x}^x(2x-u)f(u){\rm d}\,u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}2x\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^{2x}uf(u){\rm d}\,u\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-xf(x) \end{aligned}$

例二

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^{3x^2}\ln\sqrt{t+x^2}{\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=t+x^2}\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{x^2}^{4x^2}\ln\sqrt{u}{\rm d}\,u\\ &=8x\ln2x-2x\ln x \end{aligned}$