离散数学与组合数学-02二元关系

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离散数学与组合数学-02二元关系上

本文为离散数据与组合数学电子科技大学王丽杰老师的课程笔记详细视频参考
【电子科技大学】离散数学上王丽杰
【电子科技大学】离散数学下王丽杰
latex的离散数学写法参考离散数学与组合数学-01

离散数学公式
!符号代码含义
$\wedge$ \wedge 且
$\vee$ \vee 或
$\cap$ \cap 交
$\cup$ \cup 并
$\subseteq$ \subseteq 子集
$\nsubseteq$ \nsubseteq 不是子集
$\subset$ \subset 真子集
$\not\subset$ \not\subset 不是真子集
$\in$ \in 属于
$\not\in$ \not\in 不属于
$\leftrightarrow$ \leftrightarrow 等价
$\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow 等值
$\neg$ \neg或\lnot 非
$\mathbb{R}$ \mathbb{R} 实数集
$\mathbb{Z}$ \mathbb{Z} 整数集
$\varnothing$ \varnothing 空集
$\forall$ \forall 对任意的
$\exists$ \exists 存在
$\geq$ \geq大于等于
$\leq$ \leq 小于等于

$R\mkern-10.5mu/$ R\mkern-10.5mu/ 数值越大斜杆越往字母左侧移动

离散数学与组合数学-02二元关系上

2.1 序偶和笛卡尔积

2.1.1 有序组的定义

在这里插入图片描述

2.1.2 笛卡儿积

在这里插入图片描述

笛卡儿积的性质

由笛卡儿积定义可以看出:
1 设 A, B 是任意两个集合则不一定有 A × B = B × A即笛卡儿积不满足交换律
2 A × B = ∅ 当且仅当 A = ∅ 或者 B = ∅
3 设 A,B, C 是任意三个集合则不一定有 A × (B × C) = (A × B) × C即笛卡儿积不满足结合律
4 当集合 A, B 都是有限集时|A × B| = |B × A| = |A| × |B|。
5 笛卡儿积对并运算和交运算满足分配律。

2.2 关系的定义

2.2.1 二元关系定义与案例

设 A, B 为两个非空集合称A × B 的任意子集 R 为从 A 到 B 的一个二元关系简称关系 (relation)。其中
A 称为关系 R 的前域
B 称为关系 R 的后域。
如果A = B则称 R为A 上的一个二元关系。
案例:

1.令 A 为某大学所有学生的集合B 表示该大学开设的所有课程的集合则 A × B 可表示该校学生选课的所有可能情况。而真正的选课情况即选课关系则会是 A × B 的某一个子集。
2 令 F 为某地所有父亲的集合S 表示该地所有儿子的集合则 F × S 可表示父子关系的所有可能情况。而真正的父子关系则会是 F × S 的某一个子集。

2.2.2 二元关系的数学符号

定义

1 若序偶 $\in R$ 通常把这一事实记为 xRy读作“x 对 y 有关系 R”
2 若序偶 $\not\in R$ 通常把这一事实记为 $xR\mkern-10.5mu/y$ 读作“x 对 y 没有关系 R”。

案例

设 $R_{1}$ 为自然数集合上的小于关系则 $\not\in R_{1}(或 2R_{1}3)$ 但 $\not\in R1$ (或 $5R\mkern-10.5mu/5$ )
2 设 $R_{2}$ 为中国城市的地区归属关系则 $成都R_{2}四川$ 但 $重庆R\mkern-10.5mu/四川$ .