理解矩阵三
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这两篇文章发表于去年的4月。在第二部分结束的时候我说
“ 矩阵不仅可以作为线性变换的描述而且可以作为一组基的描述。而 作为变换的矩阵不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去而且也能够把线性空间中的一个坐标系基表换到另一个坐标系基去。而且变换点 与变换坐标系具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙就蕴含在其中。理解了这些内容线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
这个留在下一篇再写吧。
因为有别的事情要做下一篇可能要过几天再写了。 ”
然而这一拖就是一年半。一年半以来这两篇粗糙放肆的文章被到处转载以至于在Google的搜索提示中我的名字跟“矩阵”是一对关联词汇。这对于学生时代数学一直很差的我来说实在是令人惶恐的事情。数学是何等辉煌精致的学问代表着人类智慧的最高成就是人与上帝对话的语言。而我实在连数学的门都还没进去不要说谈什么理解就是稍微难一些的题目我也很少能解开。我有什么资格去谈矩阵这样重要的一个数学概念呢更何况我的想法直观是直观未见的是正确的啊会不会误人子弟呢因此算了吧到此为止吧我这么想。
是时不时收到的来信逐渐改变了我的想法。
一年半以来我收到过不下一百封直接的来信要求我把后面的部分写出来。这些来信大部分是国内的网友和学生也有少数来自正在国外深造的朋友大部分是鼓励有的是诚挚的请求也有少数严厉斥责我不守承诺。不管是何种态度这都表明他们对我这一点点小小的思考成果的鼓励特别是对于我这种思维的视角和尝试的鼓励。他们在信中让我知道尽管我的数学水平不高但是我这种从普通人而不是数学家视角出发强调对数学概念和规则的直觉理解的思路对于很多人是有益的。也许这条路子在数学中绝非正道也不会走得很远但是无论如何在一定的阶段对一部分人来说较之目前数学教材普遍采用的思路这种方式可能更容易理解一些。既然是可能对一部分人有帮助的事情那么我就不应该心存太多杂念应该不断思考和总结下去。
所以下面就是你们来信要求我写出来的东西。
首先来总结一下前面两部分的一些主要结论
1. 首先有空间空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。
2. 有一种空间叫线性空间线性空间是容纳向量对象运动的。
3. 运动是瞬时的因此也被称为变换。
4. 矩阵是线性空间中运动变换的描述。
5. 矩阵与向量相乘就是实施运动变换的过程。
6. 同一个变换在不同的坐标系下表现为不同的矩阵但是它们的本质是一样的所以本征值相同。
下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道线性空间里的基本对象是向量而向量是这么表示的
[a1, a2, a3, ..., an]
矩阵呢矩阵是这么表示的
a11, a12, a13, ..., a1n
a21, a22, a23, ..., a2n
...
an1, an2, an3, ..., ann
不用太聪明我们就能看出来矩阵是一组向量组成的。特别的n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。我们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵因为理解它就是理解矩阵的关键它才是一般情况而其他矩阵都是意外都是不得不对付的讨厌状况大可以放在一边。这里多一句嘴学习东西要抓住主流不要纠缠于旁支末节。很可惜我们的教材课本大多数都是把主线埋没在细节中的搞得大家还没明白怎么回事就先被灌晕了。比如数学分析明明最要紧的观念是说一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和这个概念是贯穿始终的也是数学分析的精华。但是课本里自始至终不讲这句话反正就是让你做吉米多维奇掌握一大堆解偏题的技巧记住各种特殊情况两类间断点怪异的可微和可积条件谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...最后考试一过一切忘光光。要我说还不如反复强调这一个事情把它深深刻在脑子里别的东西忘了就忘了真碰到问题了再查数学手册嘛何必因小失大呢
言归正传。如果一组向量是彼此线性无关的话那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基从而事实上成为一个坐标系体系其中每一个向量都躺在一根坐标轴上并且成为那根坐标轴上的基本度量单位长度1。
现在到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的而且如果矩阵非奇异的话我说了只考虑这种情况那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。结论矩阵描述了一个坐标系。
“慢着”你嚷嚷起来了“你这个骗子你不是说过矩阵就是运动吗怎么这会矩阵又是坐标系了”
嗯所以我说到了关键的一步。我并没有骗人之所以矩阵又是运动又是坐标系那是因为——
“运动等价于坐标系变换”。
对不起这话其实不准确我只是想让你印象深刻。准确的说法是
“对象的变换等价于坐标系的变换”。
或者
“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”
说白了就是
“运动是相对的。”
让我们想想达成同一个变换的结果比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去你可以有两种做法。第一坐标系不动点动把(1, 1)点挪到(2, 3)去。第二点不动变坐标系让x轴的度量单位向量变成原来的1/2让y轴的度量单位向量变成原先的1/3这样点还是那个点可是点的坐标就变成(2, 3)了。方式不同结果一样。
从第一个方式来看那就是我在《理解矩阵》1/2中说的把矩阵看成是运动描述矩阵与向量相乘就是使向量点运动的过程。在这个方式下
Ma = b
的意思是
“向量a经过矩阵M所描述的变换变成了向量b。”
而从第二个方式来看矩阵M描述了一个坐标系姑且也称之为M。那么
Ma = b
的意思是
“有一个向量它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a那么它在坐标系I的度量下这个向量的度量结果是b。”
这里的I是指单位矩阵就是主对角线是1其他为零的矩阵。
而这两个方式本质上是等价的。
我希望你务必理解这一点因为这是本篇的关键。
正因为是关键所以我得再解释一下。
在M为坐标系的意义下如果把M放在一个向量a的前面形成Ma的样式我们可以认为这是对向量a的一个环境声明。它相当于是说
“注意了这里有一个向量它在坐标系M中度量得到的度量结果可以表达为a。可是它在别的坐标系里度量的话就会得到不同的结果。为了明确我把M放在前面让你明白这是该向量在坐标系M中度量的结果。”
那么我们再看孤零零的向量b
b
多看几遍你没看出来吗它其实不是b它是
Ib
也就是说“在单位坐标系也就是我们通常说的直角坐标系I中有一个向量度量的结果是b。”
而 Ma = Ib的意思就是说
“在M坐标系里量出来的向量a跟在I坐标系里量出来的向量b其实根本就是一个向量啊”
这哪里是什么乘法计算根本就是身份识别嘛。
从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在但是要把它表示出来就要把它放在一个坐标系中去度量它然后把度量的结果向量在各个坐标轴上的投影值按一定顺序列在一起就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系基不同得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量选择的坐标系不同其表示方式就不同。因此按道理来说每写出一个向量的表示都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式就是 Ma也就是说有一个向量在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。我们平时说一个向量是[2 3 5 7]T隐含着是说这个向量在 I 坐标系中的度量结果是[2 3 5 7]T因此这个形式反而是一种简化了的特殊情况。
注意到M矩阵表示出来的那个坐标系由一组基组成而那组基也是由向量组成的同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题。也就是说表述一个矩阵的一般方法也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M其实是 IM也就是说M中那组基的度量是在 I 坐标系中得出的。从这个视角来看M×N也不是什么矩阵乘法了而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N其中M本身是在I坐标系中度量出来的。
回过头来说变换的问题。我刚才说“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”那个“固定对象”我们找到了就是那个向量。但是坐标系的变换呢我怎么没看见
请看
Ma = Ib
我现在要变M为I怎么变对了再前面乘以个M-1也就是M的逆矩阵。换句话说你不是有一个坐标系M吗现在我让它乘以个M-1变成I这样一来的话原来M坐标系中的a在I中一量就得到b了。
我建议你此时此刻拿起纸笔画画图求得对这件事情的理解。比如你画一个坐标系x轴上的衡量单位是2y轴上的衡量单位是3在这样一个坐标系里坐标为(11)的那一点实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)。而让它原形毕露的办法就是把原来那个坐标系:
2 0
0 3
的x方向度量缩小为原来的1/2而y方向度量缩小为原来的1/3这样一来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变那个向量现在就变成了(2, 3)了。
怎么能够让“x方向度量缩小为原来的1/2而y方向度量缩小为原来的1/3”呢就是让原坐标系
2 0
0 3
被矩阵
1/2 0
0 1/3
左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
下面我们得出一个重要的结论
“对坐标系施加变换的方法就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”
再一次的矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过被施加运动的不再是向量而是另一个坐标系。
如果你觉得你还搞得清楚请再想一下刚才已经提到的结论矩阵MxN一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果另一方面把M当成N的前缀当成N的环境描述那么就是说在M坐标系度量下有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量其结果为坐标系MxN。
在这里我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个问题那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说是因为
1. 从变换的观点看对坐标系N施加M变换就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
2. 从坐标系的观点看在M坐标系中表现为N的另一个坐标系这也归结为对N坐标系基的每一个向量把它在I坐标系中的坐标找出来然后汇成一个新的矩阵。
3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定那是因为一个在M中度量为a的向量如果想要恢复在I中的真像就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说其实到了这一步已经很容易了。
综合以上1/2/3矩阵的乘法就得那么规定一切有根有据绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。
我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系又是变换。到底是坐标系还是变换已经说不清楚了运动与实体在这里统一了物质与意识的界限已经消失了一切归于无法言说无法定义了。道可道非常道名可名非常名。矩阵是在是不可道之道不可名之名的东西。到了这个时候我们不得不承认我们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义是无比正确的
“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。”
好了这基本上就是我想说的全部了。还留下一个行列式的问题。矩阵M的行列式实际上是组成M的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点我只能感叹于其精妙却无法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学工具不够我希望有人能够给我们大家讲解其中的道理了。
我不知道是否讲得足够清楚了反正这一部分需要您花些功夫去推敲。
此外请大家不必等待这个系列的后续部分。以我的工作情况而言近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有四的话可能是一些站在应用层面的考虑比如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出现了。
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