过年了作为水果店老板的我们一共进了三种水果其中

西瓜50个

香蕉30个

橙子20个

为了方便顾客挑选放在如下的格子里每个格子放一个水果总共 100 个

概率

现在有一人前来买水果那么可以算出他买某种水果的概率

西瓜$P(A_1)=50/100=0.5$

香蕉$P(A_2)=30/100=0.3$

橙子$P(A_3)=20/100=0.2$

我们统计下买某种水果的概率并记录为表1

联合概率

水果质量乘次不齐会有少量的坏果顾客一般从外观难以分辨。

但是作为经验老道的老板大概知道有几个坏果用较深的颜色统计每种水果中的坏果从图中可以看到

西瓜里有 10 个坏果

香蕉里有 3 个坏果

橙子里有 4 个坏果

那么顾客既选西瓜又选到坏果的概率是

西瓜$P(A_1,B)=10/100=0.1$

这里顾客既选西瓜A_1又选到坏果B的概率用P(x_1,y)表示逗号用来表示两件事同时发生。

其他的类似

香蕉$P(A_2,B)=3/100=0.03$

橙子$P(A_3,B)=4/100=0.04$

我们统计下顾客挑选某种水果且有坏果的概率表记录为表2

条件概率

与之前不同顾客现在就想买颗西瓜他选到坏果的概率是多少

西瓜$P(B|A_1)=10/50=0.2$

这里顾客从西瓜里选到坏果的概率用 $P(B|A_1)$ 表示

其中 |表示在 A_1发生的前提下又发生B的概率。

其他水果

香蕉$P(B|A_2)=3/30=0.1$

橙子$P(B|A_3)=4/20=0.2$

我们统计下顾客从某种水果挑选到坏果的概率表记录为表3

现在我们把以上三张表整理成一张表

我们会惊奇的发现一个规律

西瓜$P(A_1,B)=P(A_1)P(B|A_1)=0.5\times 0.2=0.1$

香蕉$P(A_2,B)=P(A_2)P(B|A_2)=0.3\times 0.1=0.03$

橙子$P(A_3,B)=P(A_3)P(B|A_3)=0.2\times 0.5=0.04$

恭喜你已经发现了联合概率公式

$P(A_i,B)=P(A_i)P(B|A_i)$

利用幼儿园的乘除法可以转化为

$P(B|A_i)=\frac{P(A_i,B)}{P(A_i)}$

这就是所谓的条件概率公式。

条件概率也可以用集合图表示其实就是用 $P(A_i,B)$ 联合概率(交集) 除以 $P(A_i)$

全概率公式

现在统计下顾客选到坏果的概率为

$P(B)=(10+3+4)/100=0.17$

再拿过来刚刚的统计表

我们现在发现又一条规律

$P(B)=P(A_1,B)+P(A_2,B)+P(A_3,B)=0.1+0.03+0.04=0.17$

在现实生活中我们并不能直接得到 $P(A_i,B)$ 的值或者获取难度太大。

一般只能获得某个事件发生的概率 $P(A_i)$ 或在 A 事件发生后 B 事件发生的条件概率 $P(B|A_i)$ ,

因此代入刚刚推导出的联合概率公式

也就是使用$P(A_i)P(B|A_i)$ 来指代$P(A_i,B)$ 得到

$$\begin{gathered} P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3) \\ =0.5\times 0.2+0.3\times 0.1+0.2\times 0.2=0.17 \end{gathered}$$

以上就是所谓的全概率公式。

我们一般见到的数学表示形式如下

$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$

贝叶斯公式

现在坏果作为促销商品那么顾客想从坏果中选到西瓜的概率是多少也就是计算 $P(A_1|B)$

**注意**这里需要区分 $P(A_1|B)$ 和 $P(B|A_1)$ 二者的区别

$P(B|A_1)$ 指的是选西瓜这件事已经确定的情况下从中选坏果的概率用图表示

$P(A_1|B)$ 指的是在坏果已经确定的情况下从中选西瓜的概率用图表示

根据上图很容易得到坏果总共有 17 个其中 10 个西瓜

$P(A_1|B)=\frac{10}{17}$

用符号代替

$P(A_1|B)=\frac{P(A_1,B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$

根据联合概率公式

关于为什么要使用联合概率公式转换参考上一小节

$P(A_1|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}$

根据全概率公式

$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)}$

这个就是所谓的贝叶斯公式。

代入值

$P(A_1|B)=\frac{0.5\times 0.2}{0.3\times 0.1+0.5\times 0.2+0.2\times 0.2}=\frac{1}{0.17}=\frac{10}{17}$