DP(背包模型）

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01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数NV 用空格隔开分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行每行两个整数 vi,wi用空格隔开分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];  // 体积 价值 
int f[N][N]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品则价值等于前i-1个物品
            if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
           // 能装需进行决策是否选择第i个物品
            else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

一维

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vi价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数NV用空格隔开分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行每行两个整数 vi,wi用空格隔开分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例

基本框架 O(n^3) 会超时

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

优化

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式可得出如下递推关系
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

一维

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            //原来二维与之对应的是 f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);对应正是第i层 不是i-1层 故从小到大即可
            if(j>=v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

多重背包问题 I

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件每件体积是 vi价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包可使物品体积总和不超过背包容量且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数NV用空格隔开分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行每行三个整数 vi,wi,si 用空格隔开分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

输入样例

输出样例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举背包
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)//枚举体积
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}