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文章目录

常见的矩阵(方阵)

方阵(n阶矩阵)
- 对角阵
  - 数量阵
    - 单位阵
- 三角阵

单位阵

n阶单位阵记为 $E_n$

数量阵

n阶数量阵记为 $kE_n$

对角阵

记为 $\Lambda=diag[a_1,a_2,\cdots{a_n}]$

方阵

n阶方阵,即 $n\times{n}$ 的矩阵
$记为A=[a_{ij}]_{n\times{n}},简记为[a_{ij}]_{n}$

三角阵

上三角

$当i>j,则a_{ij}=0$ 的矩阵是上三角矩阵(方阵)
- 非0元素只存在于对角线以及对角线上方的区域
- 对角线下侧的所有元素都为0

下三角

$当i<j,则a_{ij}=0的矩阵是下三角矩阵(方阵)$

三角行列式

主对角线三角行列式

三角形行列式
- 记为 $A_{TD}$ (triangular determinant)
三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
$|A_{TD}|=\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ij}$

副对角线三角行列式

$|A_{NTD}|=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ij}$

特殊的拉普拉斯展开

设方阵A是m+n阶的 $A_{m+n}$
$\begin{vmatrix} A_m&R \\ O&B_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_m& O\\ R&B_n \end{vmatrix} =|A_m|\cdot|B_n|$
- $O$ 分布在副对角线上
$\begin{vmatrix} O&A_m \\ B_n&R \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} R&A_m \\ B_n&O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A_m|\cdot|B_n|$
- $O$ 分布在主对角线上

范德蒙行列式

范德蒙行列式Vandermonde determinant记为 $A_{V}$
- 在线性代数中范德蒙矩阵的命名来自亚历山大‑泰奥菲尔·范德蒙的名字范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵例如
- ${\displaystyle V={ \begin{bmatrix} 1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1} \\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1} \\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1} \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\ \end{bmatrix}}} \\ 或以第i行第j列的关系写作 \\{ V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}}(上述形式矩阵的第2列是基础元素列(series)) \\ 将上述矩阵转置后,依然是范德蒙行列式.$
- 如果知道了第一列以外的任意一列元素,就可以推出整个范德蒙行列式,以第2列最为典型
- $\det(V)=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}) \\ \\由行列式的性质,和范德蒙行列式的特点: \\当: \alpha _{i}(i=1,2,\cdots,n)各不相同时可以保证各列不成比例 \\(\alpha_i的k次幂{\alpha_i^k}互补相同) \\ \det(V)\neq{0}$
行形式为例:
- 设n阶范德蒙行列式的第2行的n个元素为: $a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3},a_{2,4},\cdots{a_{2,n}}$
- 同一列的相邻元素满足递推关系: $a_{i+1,j}=a_{i,j}\times a_{2,j}$
- 或者说,行通项为
  - $a_{i,1},a_{i,2},\cdots,a_{i,n} =(a_{2,1})^{i-1},(a_{2,2})^{i-1},\cdots,(a_{2,n})^{i-1}$
列形式类似
- $|A_{V}|=\prod\limits_{1\leqslant{j}<{i}\leqslant{n}}(x_i-x_j) =\prod\limits_{i=2}^{n}(\prod\limits_{j=1}^{i-1}(x_i-x_j))$
- 分析(展开)这种二重循环的表达式,可以类比程序设计,确定各自(i,j)的取值范围
  - $i\in[2,n]$
  - $j\in[1,i-1]$
  - 先固定住j的取值
  - 然后变动i
  - 依次展开
  - (来先固定i也类似)
- 类似于打印9*9乘法表
  - ```
   
  # print("pattern2:")
  for i in range(1,9):
      j=10-i
      print("\t"*(i-1),end="")
      for j in range(i+1,10):
          print("(x%d-x%d)\t"%(j,i),end="")
      print()
```
- ```
(base) PS D:\repos\PythonLearn>  py tmp.py
(x2-x1) (x3-x1) (x4-x1) (x5-x1) (x6-x1) (x7-x1) (x8-x1) (x9-x1)
        (x3-x2) (x4-x2) (x5-x2) (x6-x2) (x7-x2) (x8-x2) (x9-x2)
                (x4-x3) (x5-x3) (x6-x3) (x7-x3) (x8-x3) (x9-x3)
                        (x5-x4) (x6-x4) (x7-x4) (x8-x4) (x9-x4)
                                (x6-x5) (x7-x5) (x8-x5) (x9-x5)
                                        (x7-x6) (x8-x6) (x9-x6)
                                                (x8-x7) (x9-x7)
                                                        (x9-x8)
```

拓展形式

${\displaystyle \det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},} \\则可以把公式改写为 \det(V)={\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},} \\ S_n 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集 \\\operatorname {sgn}(\sigma) 指的是排列\sigma的奇偶性。$