自动驾驶环境感知——视觉传感器技术

1. 摄像头的成像原理

视觉传感器利用光学元件和成像装置获取外部环境图像信息的仪器。

通常视觉传感器其主要功能是获取足够的机器视觉系统要处理的最原始图像类似于人类的眼睛。

1.1 单目视觉传感器的硬件结构

    单目视觉的相机模组的组件包括了lens(镜头)、分色滤色片(IR cut)、感光元件等。    分色滤色片对色光具有吸收、反射和透过作用的染有颜色的透明片。目前分色滤色片有两种分色方法RGB原色分色法CMYK补色分色法
    感光元件其表面包含有几十万到几百万的光电二极管。光电二极管受到光照射时就会产生电荷。感光元件一般包括CCD和CMOS两种。像素值一般为（0-255电路噪声导致像素值失真.

1.2 单目视觉的成像原理 –小孔成像模型

成像模型相机将三维世界中的坐标点（单位为米映射到二维图像平面（单位为像素的过程。

相机坐标系$O-x-y-z$ 为相机坐标系在轴指向相机前方$x$轴向右$y$轴向下。$O$为摄像机的光心（或摄像头中心。

物理成像平面 $O’-x’-y’-z’$为物理成像平面。物理成像平面到小孔的距离为$f$称之为焦距。

成像原理空间点$P$的光束被映射到图像平面图像平面感光之后形成像素$P^{\prime }$。

    接下来看看具体的原理推导
    首先已知三维世界中的坐标点$P=（X,Y,Z$,成像平面中的$P^{\prime }=(X^{\prime },Y^{\prime })$焦距为$f$.由相似三角形原理可得$$\begin{array}{c}{X}^{\prime }=-\frac{f\cdot X}{Z}\\ \\ Y^{\prime }=-\frac{f\cdot Y}{Z}\end{array}$$    在视觉感知中常使用等效表达的方式来体现真实图像的输出过程    因此我们可以将式子改为$$\begin{array}{c}{X}^{\prime }=\frac{f\cdot X}{Z}\\ \\ Y^{\prime }=\frac{f\cdot Y}{Z}\end{array}$$

1.3 单目视觉的成像原理 – 像素坐标系

    从成像平面坐标到像素坐标图像是基于像素来表达。像素坐标和成像平面坐标之间相差了一个缩放和原点的平移。
    假设正向成像平面中$P’=(X’,Y’)$, 其像素坐标为$(u,v)$.
    缩放及平移的过程可以由下式来表达$$\{\begin{array}{c}u=\alpha X^{\prime }+c_x\\ v=\beta Y^{\prime }+c_y\end{array}$$    将$P^{\prime }$的坐标代入$\begin{array}{c}{X}^{\prime }=\frac{f\cdot X}{Z}{Y}^{\prime }=\frac{f\cdot Y}{Z}\end{array}$可以得到三维坐标与像素坐标的转换关系$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}u=f_x\frac{X}{Z}+c_x\\ v=f_y\frac{Y}{Z}+c_y\end{array}\\ f_x=\alpha f,f_y=\beta f\end{array}$$    用矩阵的形式表达$$\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z}\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]$$    其中$\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]$为像素坐标$\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]$为相机坐标系中的三维坐标点$\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$为内参矩阵。

1.4 单目视觉三维坐标系转换 – 外参

    相机的三维坐标系($O_C$) 并不是一个“稳定”的坐标系会随着相机的移动而改变坐标的原点和各个坐标轴的方向。在应用中相机安装在自动驾驶车辆上随车辆运动相机坐标系实时变化。对一些需要固定特征坐标的应用比如地图因此需要引进一个稳定不变的坐标系世界坐标系（$O_W$    从某三维世界坐标系（$O_W$到相机的三维坐标系($O_C$)的变换称为相机的外参本质是将世界坐标系中的特征点转换到相机坐标系。
    三维坐标系的变换是一个刚性平移加旋转的过程变换包括平移向量（$t$3x1以及旋转矩阵($R$3x3)。
    三维坐标变换表达已知某世界坐标系($O_W$)中空间点$P_W=(X_W,Y_W,Z_W)$以及$O_W$与相机坐标系($O_C$)的变换$R,t$. 求解此空间点在OC坐标系的坐标$P_C=(X_C,Y_C,Z_C)$ 。
    下式即为三维坐标变换$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right]$$

1.5 单目视觉的坐标系转换 – 从世界坐标点到像素坐标

    最后对整个过程进行总结
世界坐标系($O_W$)中空间点$P_W=(X_W,Y_W,Z_W)$成像到相机中得出其像点$p=(u,v)$需要经过三次变换:

• 世界坐标系转换到相机三维坐标系→ 刚性变化平移加旋转
• 相机三维坐标系转换到相机成像平面坐标系 → 小孔成像模型
• 相机成像坐标系转换到像素坐标系 →缩放加平移
  

1.6 单目视觉的特性

• 深度不确定图中点X以及点X’的成像点是同一个像素点x。
• 远小近大高度为X的物体离相机越远成像点越矮远处看不见。
• 易受遮挡X与X’同时存在时只能看到X有盲区
• 受光线强度影响光线过强都是255光线过暗都是0
• 受分辨率影响像素过低细节就会丢失
• 受帧率影响像素过高传输速率有限图片帧率偏低
• 受镜头影响焦距和视角会直接决定看见的距离和角度范围

2. 视觉传感器的标定

    首先对成像公式进行整理

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z_C}\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_C\\ Y_C\\ Z_C\end{array}\right]\\ =\frac{1}{Z_C}\cdot K\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_C\\ Y_C\\ Z_C\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z_C}\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_C\\ Y_C\\ Z_C\end{array}\right]\\ =\frac{1}{Z_C}\cdot K\cdot \left(R\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\end{array}\right]+t\right)\\ =\frac{1}{Z_C}\cdot K\cdot \left(\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]\right)\\ =M\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}{M}_1& M_2& M_3& M_4\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{M}_5& M_6& M_7& M_8\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{M}_9& M_{10}& M_{11}& M_{12}\end{array}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_W\\ Y_W\\ Z_W\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

2.1 视觉传感器标定原理 – 线性标定法

标定的数学表达解释输入$n$个特征点的世界坐标及像素坐标输出$M$矩阵
原理根据一对特征点$P_i,p_i$ 成像公式可以得到两个线性方程:
$$\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}{M}_1& M_2& M_3& M_4\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{M}_5& M_6& M_7& M_8\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{M}_9& M_{10}& M_{11}& M_{12}\end{array}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{X}_i\\ Y_i\\ Z_i\\ 1\end{array}\right]$$

    每一对特征点可以转换为两个线性方程共11个自由度
    所以如果$n>=6$即可计算得到$M$矩阵
    实际应用中一般会用非常多的特征点基于最小二乘方法求解$M$矩阵。

    如果镜头畸变需要矫正则需要基于非线性方法引入非线性畸变模型。一般可以采用非线性优化的方法求解。

2.2 相机畸变模型

2.2.1 径向畸变

    由镜头透镜形状引起的畸变称为径向畸变径向畸变主要分为桶形畸变和枕型畸变。

    在针孔相机模型中一条直线投影到像素平面上还是一条直线。 但在实际中相机的透镜使得真实环境中的直线在图片中变成了曲线。由于透镜往往是中心对称的这使得不规则畸变通常径向对称。径向畸变可由三个参数$k_1,k_2,k_3$确定。
$$\begin{array}{l}{x}_{corrected}=x(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)\\ y_{corrected}=y(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)\end{array}$$

2.2.2 切向畸变

    切向畸变源于透镜不完全平行于图像平面即感光成像平面装配时与镜头间的角度不准；

    产生的影响是图像像素点以畸变中心为中心点沿着切向产生的位置偏差；
    切向畸变由两个参数$p_1,p_2$确定。
$$\begin{array}{l}{x}_{corrected}=x+[2p_{1}xy+p_2(r^2+2x^2)]\\ y_{corrected}=y+[p_1(r^2+2y^2)+2p_{2}xy]\end{array}$$

    结合径向畸变的式子即可得到畸变矫正的公式$$\begin{array}{l}{x}_{corrected}=x(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+2p_{1}xy+p_2(r^2+2x^2)\\ y_{corrected}=y(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_1(r^2+2y^2)+2p_{2}xy\end{array}$$

2.3 单目相机标定方法

    对于单目相机的标定我们主要需要对以下几个量进行标定

• 内参矩阵$K$
• 外参$R,t$
• 畸变参数$k_1,k_2,p_1,p_2$
      有几种常用的方法用于标定

一步法

直接使用最优化方法求出相机内外参数

两步法

1. Tsai法（1987年
   假设$u_0,v_0$已知只考虑径向畸变
   标定设备三维标定块
2. 张正友法
   假设只考虑径向畸变
   标定设备平面标定板

2.4 双目相机标定

此部分来源于北京理工大学慕课《无人驾驶车辆》

2.4.1 双目相机模型

    左右双目相机有以下特点
• 光圈中心都在x轴上
• 光圈中心距离称为“基线
    将其转化为俯视图如下所示    双目相机有以下几何关系

2.4.2 双目相机标定方法

    双面相机两相机间的角度可能存在偏差因此测距原理$z=\frac{fb}{u_L-u_R}$不再适用需要进行重新标定。具体标定对象则是两相机之间的相对旋转矩阵与平移向量。

    除此之外两相机之间的相对距离也可能有安装误差同样需要标定。把左右相机的图像在水平方向严格对齐对原始图像进行消除畸变再进行图像校正与图像裁剪最后就能得到校正后的图像。

2.5 俯视图转化标定——逆透视变换

    逆透视变换英文为IPM (Inverse Perspective Mapping)
原理根据图片坐标与世界坐标的关系将图片像素$uv$对应到路面$xy$
难点一般来说图片没有距离尺度信息一个像素点确定一条射线而不能确定是哪个点
解决办法假设地面平坦且高度已知$（z=0$就等于将世界坐标降维到二维实现$uv$与$xy$的一一对应。

接下来进行公式推导

1. 相机成像公式内参外参可以合并为一个3乘4矩阵$M$
   $$\begin{array}{c}{Z}_c\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}{f}_x& 0& u_0& 0\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& f_y& v_0& 0\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{R}_{3\times 3}& T_{3\times 1}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}{M}_1& M_2& M_3& M_4\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{M}_5& M_6& M_7& M_8\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{M}_9& M_{10}& M_{11}& M_{12}\end{array}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
2. 假设地面平坦令$z=0$就可以去掉$M$的第三列两侧左乘$M^{-1}$并将$Z_c$移到右侧记$w=1/Z_c$$P=M^{-1}$$$Z_c\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{M}_1& M_2& M_4\\ M_5& M_6& M_8\\ M_9& M_{10}& M_{12}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{ccc}{p_{11}}^{\prime }& {p_{12}}^{\prime }& {p_{13}}^{\prime }\\ {p_{12}}^{\prime }& {p_{22}}^{\prime }& {p_{23}}^{\prime }\\ {p_{13}}^{\prime }& {p_{23}}^{\prime }& {p_{33}}^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=w\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
3. 归一化将P中各元素除以$p_{33}\prime$$w$也除以$p_{33}\prime$重新整理得$$\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{12}& p_{22}& p_{23}\\ p_{13}& p_{23}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mu \\ \nu \\ 1\end{array}\right]=w^{\prime }\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

    记点$A$在图片中坐标（$u_A,v_A$),真实世界坐标（$x_A,y_A$,则有$$\left[\begin{array}{c}w{x}_A\\ w{y}_A\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{12}& p_{22}& p_{23}\\ p_{13}& p_{23}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_A\\ {\nu }_A\\ 1\end{array}\right]$$    用第三行消去$w$得$$x_A=\frac{p_{11}{u}_A+p_{12}{v}_A+p_{13}}{p_{31}{u}_A+p_{32}{v}_A+1}$$$$y_A=\frac{p_{21}{u}_A+p_{22}{v}_A+p_{23}}{p_{31}{u}_A+p_{32}{v}_A+1}$$    矩阵方程形成以$p_{ij}$作为未知数的2个方程
    对$BCD$重复上述操作形成8个方程就能求解出全部8个未知数