概论

一 性质

极大似然估计 有一个简单有用的性质

如果 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$的极大似然估计 则对任一 $\theta$的函数$g(\theta )$, 其极大似然估计为 $g(\hat{\theta })$ .

该性质称为极大似然估计的不变性它使得一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。

二 一些重要结论

1. 对均匀分布的总体U(0, $\theta$) $\theta$的极大似然估计为 $\hat{\theta }=max${$x_1,x_2,...,x_n$}

2. 对指数分布的总体E($\lambda$), $\lambda$的极大似然估计为$\hat{\lambda }$ = $1/\overline{x}$ , 另外$\lambda$的矩估计也为 $1/\overline{x}$,

3. 对正态总体N($\mu ,{\sigma }^2$), 未知参数 $\theta =(\mu ,{\sigma }^2)$, $\mu$的极大似然估计为$\hat{\mu }=\overline{x}$, $\sigma$的极大似然估计为 ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=s_n^2$.

4. 对泊松分布P($\lambda$), $\lambda$的最大似然估计为 $\hat{\lambda }$ = $\overline{x}$, 另外$\lambda$的矩估计也为 $\overline{x}$.

形成表格如下表所示

三 看例题

例1 设$x_1,x_2,...,x_n$是来看正态总体N ($\mu ,{\sigma }^2$), 求标准差$\sigma$ 和 概率 P(X$⩾3$)的极大似然估计。

解 由上述表格可知 与 极大似然估计的不变性 $\sigma$ 的极大似然估计为 $\hat{\sigma }$ = $(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$ , 概率 P(X$⩾3$) 的极大似然估计为

P($\hat{X}\le 3$)=$\Phi (\frac{3-\mu }{\sigma })=\Phi (\frac{3-\overline{x}}{\hat{\sigma }})=\Phi (\frac{3-\overline{x}}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}})$