二叉搜索树的插入、查找、删除
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一般的二叉树增删改查没有什么意义我们一般使用搜索二叉树或者更高级的树型结构来进行增删改查。
二叉搜索树又称二叉排序树它或者是一棵空树或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
二叉搜索树的操作
二叉树节点结构
template<class K>
struct BSTreeNode {
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
};二叉搜索树的查找
- 从根开始比较查找比根大则往右边走查找比根小则往左边走查找。
- 最多查找高度次走到到空还没找到这个值不存在。
迭代代码实现
bool find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}递归代码实现
//使用子函数可以在调用函数的时候不需要知道根
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
if (key < root->_key)
{
_FindR(root->_left, key);
}
else if (key > root->_key)
{
_FindR(root->_right, key);
}
else
{
return root;
}
}二叉搜索树的插入
- 树为空则直接新增节点赋值给root指针
- 树不为空按二叉搜索树性质查找插入位置插入新节点
迭代代码实现
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}递归代码实现
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (key < root->_key)
{
_InsertR(root->_left, key);
}
else if (key > root->_key)
{
_InsertR(root->_right, key);
}
else
{
return false;
}
}根节点使用引用传参这个函数栈帧的根节点就是上一个函数栈帧中根节点的左子树或者右子树改变这个函数栈帧节点的指针指向就可以改变上一个函数栈帧中根节点的左子树或者右子树的指针的指向。
二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中如果不存在则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况实际情况a可以与情况b或者c合并起来因此真正的删除过程如下
情况b删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除 情况c删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除 情况d在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)用它的值填补到被删除节点中再来处理该结点的删除问题--替换法删除
迭代代码实现
bool Erase(const K& key)
{
//找要删除的节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了开始删除
//左子树为空
if (cur->_left == nullptr)
{
//删除的节点是根需要特殊处理
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//右子树为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
//删除的节点是根需要特殊处理
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
//左右子树都不为空
Node* minParent = cur;
Node* min = cur->_right;
while (min->_left)
{
minParent = min;
min = min->_left;
}
cur->_key = min->_key;
if (minParent->_left == min)
{
minParent->_left = min->_right;
}
else
{
minParent->_right = min->_right;
}
delete min;
}
return true;
}
}
return false;
}递归代码实现
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (key < root->_key)
{
_EraseR(root->_left, key);
}
else if (key > root->_key)
{
_EraseR(root->_right, key);
}
else
{
Node* del = root;
if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else
{
Node* min = root->_right;
while (min->_left)
min = min->_left;
swap(root->_key, min->_key);
// 递归到右子树去删除
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}二叉搜索树的应用
K模型K模型即只有key作为关键码结构中只需要存储Key即可关键码即为需要搜索到 的值。
KV模型每一个关键码key都有与之对应的值Value即的键值对。
KV模型
namespace KV
{
template<class K,class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>* _left;
BSTreeNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
, _value(value)
{}
};
template<class K,class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K,V> Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
//找要删除的节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了开始删除
//左子树为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//右子树为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
//左右子树都不为空
Node* minParent = cur;
Node* min = cur->_right;
while (min->_left)
{
minParent = min;
min = min->_left;
}
cur->_key = min->_key;
cur->_value = min->_value;
if (minParent->_left == min)
{
minParent->_left = min->_right;
}
else
{
minParent->_right = min->_right;
}
delete min;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root;
};
void TestBSTree()
{
// 统计语言出现次数
string arr[] = { "C++", "C语言","Python", "Java", "C语言", "C++", "C++", "C语言", "C++", "Java", "C++", "Java" };
BSTree<string, int> countTree;
for (auto& str : arr)
{
//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.find(str);
auto ret = countTree.find(str);
if (ret != nullptr)
{
ret->_value++;
}
else
{
countTree.Insert(str, 1);
}
}
countTree.InOrder();
}
}
插入和删除操作都必须先查找查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树若每个元素查找的概率相等则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数即结点越深则比较次数越多。 但对于同一个关键码集合如果各关键码插入的次序不同可能得到不同结构的二叉搜索树
- 最优情况下二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)其平均比较次数为log2N以2为底N的对数
- 最差情况下二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)其平均比较次数为N