深度学习基础

1. 数学基础

1.1 标量和向量

标量 Scalar
一个标量就是一个单独的数

向量 Vector
一个向量是一列数
可以把向量看做空间中的点每个元素是不同坐标轴上的坐标
向量中有几个数就叫几维向量
如4维向量[1,2,3,4]

1.2 向量运算

向量加和: A +B = B + A 需要维度相同
[1,2] + [3,4] = [4, 6]

向量内积: A * B = B * A 需要维度相同
[1,2] * [3, 4] = 1 * 3 + 2* 4 = 11

1.3 矩阵

矩阵 matrix
是一个二维数组。矩阵中的每一个值是一个标量可以通过行号和列号进行索引
矩阵加法 需要维度相同

矩阵乘法
不满足交换律 A * B != B* A
当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时A与B可以相乘
M x N 矩阵乘以 N x P矩阵得到M x P维度矩阵

符合分配律
A*(B+C) = A*B + A * C

符合结合律
A * (B * C) = (A * B) * C

另一种矩阵乘法 – 矩阵点乘
两矩阵必须形状一致

1.4 张量

张量 tensor
将三个2 x 2的矩阵排列在一起就可以称为一个 3 x 2 x 2的张量
将4个3 x 2 x 2的张量排列在一起就可以成为一个 4 x 3 x 2 x 2维度的张量。
张量是神经网络的训练中最为常见的数据形式。
所有的输入输出中间结果几乎都是以张量的形式存在。

1.5 导数

导数表示函数变化的方向

常见导数

求导法则
加减法则[f(x)+g(x)]‘=f(x)’+g(x)’

乘法法则[f(x)*g(x)]‘=f(x)’*g(x)+g(x)'*f(x)

除法法则[f(x)/g(x)]‘=[f(x)’*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)2

链式法则若h(x)=f(g(x))则h’(x)=f’(g(x))g’(x)

2. numpy常用操作

NumPy 是 Python 中的一个开源库提供大量的数学函数和多维数组对象以及各种派生对象如掩码数组和矩阵这些工具可用于各种数学和逻辑操作。它是大多数数据科学和科学计算Python工具的基础。

代码示例

#coding:utf8

import torch
import numpy as np



#numpy基本操作
x = np.array([[1,2,3],
              [4,5,6]])
#
print(x.ndim)
print(x.shape)
print(x.size)
print(np.sum(x))
print(np.sum(x, axis=0))
print(np.sum(x, axis=1))
print(np.reshape(x, (3,2)))
print(np.sqrt(x))
print(np.exp(x))
print(x.transpose())
print(x.flatten())

#
# print(np.zeros((3,4,5)))
# print(np.random.rand(3,4,5))
#
# x = np.random.rand(3,4,5)
x = torch.FloatTensor(x)
print(x.shape)
print(torch.exp(x))
print(torch.sum(x, dim=0))
print(torch.sum(x, dim=1))
print(x.transpose(1, 0))
print(x.flatten())

3. 梯度下降算法

梯度下降算法是一个用于寻找函数最小值的迭代优化算法。在机器学习和深度学习中通常使用梯度下降来优化损失函数从而训练模型的参数。

梯度下降的核心思想是使用函数的梯度或近似梯度来确定在函数值减小的方向上迭代更新参数。换句话说如果你站在山坡上并想找到最短的路径下山那么在每一步你应该朝着最陡峭的下坡方向走。

算法步骤

1. 初始化参数通常是随机的。
2. 计算损失函数的梯度。
3. 更新参数使其沿着梯度的负方向移动
   θ=θ−α×∇θ 其中 α 是学习率。
4. 重复步骤 2 和 3直到满足停止准则例如梯度接近于零达到最大迭代次数或损失变化很小。

学习率 α 决定了每次迭代时参数更新的步长。太大的学习率可能会使算法在最小值附近震荡而太小的学习率可能会导致算法收敛得太慢。很多高级的优化算法如 Adam、RMSprop 等都是为了在训练过程中自动调整学习率。

权重更新方式

Gradient descent
所有样本一起计算梯度累加

Stochastic gradient descent
每次使用一个样本计算梯度

Mini-batch gradient descent
每次使用n个样本计算梯度累加

找极小值问题

函数f(x)的值受x影响

目标找到合适的x值使得f(x)最小

方法

1. 任取一点x0计算在这一点的导数值f(x0)
2. 根据导数的正负决定x0应当调大还是调小
3. 迭代进行1,2直到x不在变化或变化极小

原函数为 y = x2 导函数为 y = 2*x
在x = -1这个点导数值为 -2
该点导数为负数说明在这一点如果x增大y会减小
所以f(x)最小值的点应当在-1的右侧大于-1

原函数为 y = x2 导函数为 y = 2*x
在x = 1这个点导数值为 2
该点导数为正数说明在这一点如果x增大y会增大
所以f(x)最小值的点应当在-1的左侧小于1

梯度

• 梯度可以理解为多元函数的导数意义与导数基本一致

原函数y = 3x2
导函数: y = 6x
在x=1处的导数值6

原函数y = 3x12 + 4x22 + 5x32
导函数y = {6x1 , 8x2 , 10x3}
在[111]处的梯度是[6810]
梯度是个向量

4. 反向传播

4.1 完整的反向传播过程

1. 根据输入x和模型当前权重计算预测值y’
2. 根据y’和y使用loss函数计算loss
3. 根据loss计算模型权重的梯度
4. 使用梯度和学习率根据优化器调整模型权重

4.2 代码演示

# coding:utf8

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import copy

"""
基于pytorch的网络编写
手动实现梯度计算和反向传播
加入激活函数
"""


class TorchModel(nn.Module):
    def __init__(self, hidden_size):
        super(TorchModel, self).__init__()
        self.layer = nn.Linear(hidden_size, hidden_size, bias=False)
        self.activation = torch.sigmoid
        self.loss = nn.functional.mse_loss  # loss采用均方差损失

    # 当输入真实标签返回loss值无真实标签返回预测值
    def forward(self, x, y=None):
        y_pred = self.layer(x)
        y_pred = self.activation(y_pred)
        if y is not None:
            return self.loss(y_pred, y)
        else:
            return y_pred


# 自定义模型接受一个参数矩阵作为入参
class DiyModel:
    def __init__(self, weight):
        self.weight = weight

    def forward(self, x, y=None):
        y_pred = np.dot(self.weight, x)
        y_pred = self.diy_sigmoid(y_pred)
        if y is not None:
            return self.diy_mse_loss(y_pred, y)
        else:
            return y_pred

    # sigmoid
    def diy_sigmoid(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-x))

    # 手动实现mse均方差loss
    def diy_mse_loss(self, y_pred, y_true):
        return np.sum(np.square(y_pred - y_true)) / len(y_pred)

    # 手动实现梯度计算
    def calculate_grad(self, y_pred, y_true, x):
        # 前向过程
        # wx = np.dot(self.weight, x)
        # sigmoid_wx = self.diy_sigmoid(wx)
        # loss = self.diy_mse_loss(sigmoid_wx, y_true)
        # 反向过程
        # 均方差函数 (y_pred - y_true) ^ 2 / n 的导数 = 2 * (y_pred - y_true) / n
        grad_loss_sigmoid_wx = 2/len(x) * (y_pred - y_true)
        # sigmoid函数 y = 1/(1+e^(-x)) 的导数 = y * (1 - y)
        grad_sigmoid_wx_wx = y_pred * (1 - y_pred)
        # wx对w求导 = x
        grad_wx_w = x
        # 导数链式相乘
        grad = grad_loss_sigmoid_wx * grad_sigmoid_wx_wx
        grad = np.dot(grad.reshape(len(x), 1), grad_wx_w.reshape(1, len(x)))
        return grad

# 梯度更新


def diy_sgd(grad, weight, learning_rate):
    return weight - learning_rate * grad

# adam梯度更新


def diy_adam(grad, weight):
    # 参数应当放在外面此处为保持后方代码整洁简单实现一步
    alpha = 1e-3  # 学习率
    beta1 = 0.9  # 超参数
    beta2 = 0.999  # 超参数
    eps = 1e-8  # 超参数
    t = 0  # 初始化
    mt = 0  # 初始化
    vt = 0  # 初始化
    # 开始计算
    t = t + 1
    gt = grad
    mt = beta1 * mt + (1 - beta1) * gt
    vt = beta2 * vt + (1 - beta2) * gt ** 2
    mth = mt / (1 - beta1 ** t)
    vth = vt / (1 - beta2 ** t)
    weight = weight - (alpha / (np.sqrt(vth) + eps)) * mth
    return weight


x = np.array([1, 2, 3, 4])  # 输入
y = np.array([0.1, -0.1, 0.01, -0.01])  # 预期输出

# torch实验
torch_model = TorchModel(len(x))
torch_model_w = torch_model.state_dict()["layer.weight"]
print(torch_model_w, "初始化权重")
numpy_model_w = copy.deepcopy(torch_model_w.numpy())
# numpy array -> torch tensor, unsqueeze的目的是增加一个batchsize维度
torch_x = torch.from_numpy(x).float().unsqueeze(0)
torch_y = torch.from_numpy(y).float().unsqueeze(0)
# torch的前向计算过程得到loss
torch_loss = torch_model(torch_x, torch_y)
print("torch模型计算loss", torch_loss)
# #手动实现loss计算
diy_model = DiyModel(numpy_model_w)
diy_loss = diy_model.forward(x, y)
print("diy模型计算loss", diy_loss)

# #设定优化器
learning_rate = 0.1
optimizer = torch.optim.SGD(torch_model.parameters(), lr=learning_rate)
# optimizer = torch.optim.Adam(torch_model.parameters())
optimizer.zero_grad()
#
# #pytorch的反向传播操作
torch_loss.backward()
print(torch_model.layer.weight.grad, "torch 计算梯度")  # 查看某层权重的梯度

# #手动实现反向传播
grad = diy_model.calculate_grad(diy_model.forward(x), y, x)
print(grad, "diy 计算梯度")
#
# #torch梯度更新
# optimizer.step()
# #查看更新后权重
# update_torch_model_w = torch_model.state_dict()["layer.weight"]
# print(update_torch_model_w, "torch更新后权重")
#
# #手动梯度更新
# diy_update_w = diy_sgd(grad, numpy_model_w, learning_rate)
# diy_update_w = diy_adam(grad, numpy_model_w)
# print(diy_update_w, "diy更新权重")

5. 网络结构 – 全连接层

全连接层又称线性层
计算公式y = w * x + b
W和b是参与训练的参数
W的维度决定了隐含层输出的维度一般称为隐单元个数hidden size
举例
输入x 维度1 x 3
隐含层1w维度3 x 5
隐含层2: w维度5 x 2

代码示例

#coding:utf8

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

"""
numpy手动实现模拟一个线性层
"""

#搭建一个2层的神经网络模型
#每层都是线性层
class TorchModel(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, hidden_size1, hidden_size2):
        super(TorchModel, self).__init__()
        self.layer1 = nn.Linear(input_size, hidden_size1)
        self.layer2 = nn.Linear(hidden_size1, hidden_size2)

    def forward(self, x):
        hidden = self.layer1(x)   #shape: (batch_size, input_size) -> (batch_size, hidden_size1)
        y_pred = self.layer2(hidden) #shape: (batch_size, hidden_size1) -> (batch_size, hidden_size2)
        return y_pred

#自定义模型
class DiyModel:
    def __init__(self, w1, b1, w2, b2):
        self.w1 = w1
        self.b1 = b1
        self.w2 = w2
        self.b2 = b2

    def forward(self, x):
        hidden = np.dot(x, self.w1.T) + self.b1
        y_pred = np.dot(hidden, self.w2.T) + self.b2
        return y_pred



#随便准备一个网络输入
x = np.array([34.1, 0.3, 1.2])
#建立torch模型
torch_model = TorchModel(len(x), 5, 2)
print(torch_model.state_dict())
print("-----------")
#打印模型权重权重为随机初始化
torch_model_w1 = torch_model.state_dict()["layer1.weight"].numpy()
torch_model_b1 = torch_model.state_dict()["layer1.bias"].numpy()
torch_model_w2 = torch_model.state_dict()["layer2.weight"].numpy()
torch_model_b2 = torch_model.state_dict()["layer2.bias"].numpy()
print(torch_model_w1, "torch w1 权重")
print(torch_model_b1, "torch b1 权重")
print("-----------")
print(torch_model_w2, "torch w2 权重")
print(torch_model_b2, "torch b2 权重")
print("-----------")
#使用torch模型做预测
torch_x = torch.FloatTensor([x])
y_pred = torch_model.forward(torch_x)
print("torch模型预测结果", y_pred)
#把torch模型权重拿过来自己实现计算过程
diy_model = DiyModel(torch_model_w1, torch_model_b1, torch_model_w2, torch_model_b2)
#用自己的模型来预测
y_pred_diy = diy_model.forward(np.array([x]))
print("diy模型预测结果", y_pred_diy)

6. 激活函数

模型添加非线性因素使模型具有拟合非线性函数的能力

6.1 激活函数-Sigmoid

一种非线性映射将任意输入映射到0-1之间

缺点

1. 计算耗时包含指数运算
2. 非0均值会导致收敛慢
3. 易造成梯度消失

代码示例

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# 示例
z = np.array([-1.0, 0.0, 1.0])
print(sigmoid(z))

6.2 激活函数-tanh

以0为均值解决了sigmoid的一定缺点但是依然存在梯度消失问题计算同样非常耗时

import numpy as np

def tanh(z):
    return np.tanh(z)

# 示例
z = np.array([-1.0, 0.0, 1.0])
print(tanh(z))

6.3 激活函数-Relu

在正区间不易发生梯度消失
计算速度非常快
一定程度上降低过拟合的风险

import numpy as np

def relu(z):
    return np.maximum(0, z)

# 示例
z = np.array([-1.0, 0.0, 1.0])
print(relu(z))

6.4 激活函数-Softmax

代码示例

#coding:utf8
import torch
import numpy

'''
softmax的计算
'''

def softmax(x):
    res = []
    for i in x:
        res.append(numpy.exp(i))
    res = [r / sum(res) for r in res]
    return res

#e的1次方
print(numpy.exp(1))

x = [1,2,3,4]
#torch实现的softmax
print(torch.softmax(torch.Tensor(x), 0))
#自己实现的softmax
print(softmax(x))

7. 损失函数

损失函数也称为代价函数或误差函数是一个核心组件于许多机器学习、统计学和优化任务中。它用于描述模型预测值与真实值之间的差异。通过最小化损失函数我们可以找到模型的最佳参数使模型的预测更加接近实际值。

7.1 损失函数-均方差

MSE mean square error
对均方差在做开根号可以得到根方差

import numpy as np

def mean_squared_error(y_true, y_pred):
    return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()

# 示例
y_true = np.array([2.0, 4.0, 6.0])
y_pred = np.array([2.5, 3.5, 5.5])
print(mean_squared_error(y_true, y_pred))

7.2 损失函数-交叉熵

Cross Entropy
常用于分类任务
分类任务中网络输出经常是所有类别上的概率分布
公式

假设一个三分类任务某样本的正确标签是第一类则p = [1, 0, 0], 模型预测值假设为[0.5, 0.4, 0.1], 则交叉熵计算如下

代码示例

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

'''
手动实现交叉熵的计算
'''

#使用torch计算交叉熵
ce_loss = nn.CrossEntropyLoss()
#假设有3个样本每个都在做3分类
pred = torch.FloatTensor([[0.3, 0.1, 0.3],
                          [0.9, 0.2, 0.9],
                          [0.5, 0.4, 0.2]])
#正确的类别分别为1,2,0
target = torch.LongTensor([1, 2, 0])
loss = ce_loss(pred, target)
print(loss, "torch输出交叉熵")


#实现softmax函数
def softmax(matrix):
    return np.exp(matrix) / np.sum(np.exp(matrix), axis=1, keepdims=True)

#验证softmax函数
# print(torch.softmax(pred, dim=1))
# print(softmax(pred.numpy()))


#将输入转化为onehot矩阵
def to_one_hot(target, shape):
    one_hot_target = np.zeros(shape)
    for i, t in enumerate(target):
        one_hot_target[i][t] = 1
    return one_hot_target

#手动实现交叉熵
def cross_entropy(pred, target):
    batch_size, class_num = pred.shape
    pred = softmax(pred)
    target = to_one_hot(target, pred.shape)
    entropy = - np.sum(target * np.log(pred), axis=1)
    return sum(entropy) / batch_size

print(cross_entropy(pred.numpy(), target.numpy()), "手动实现交叉熵")

7.3 损失函数-其他

指数损失

对数损失

0/1损失

Hinge损失二分类

8. 优化器

优化器-Adam

1. 实现简单计算高效对内存需求少
2. 超参数具有很好的解释性且通常无需调整或仅需很少的微调
3. 更新的步长能够被限制在大致的范围内初始学习率
4. 能够表现出自动调整学习率
5. 很适合应用于大规模的数据及参数的场景
6. 适用于不稳定目标函数
7. 适用于梯度稀疏或梯度存在很大噪声的问题

9. Pytorch

代码示例

# coding:utf8

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import random
import json
import matplotlib.pyplot as plt

"""

基于pytorch框架编写模型训练
实现一个自行构造的找规律(机器学习)任务
规律x是一个5维向量如果第1个数>第5个数则为正样本反之为负样本

"""


class TorchModel(nn.Module):
    def __init__(self, input_size):
        super(TorchModel, self).__init__()
        self.linear = nn.Linear(input_size, 1)  # 线性层
        self.activation = torch.sigmoid  # sigmoid归一化函数
        self.loss = nn.functional.mse_loss  # loss函数采用均方差损失

    # 当输入真实标签返回loss值无真实标签返回预测值
    def forward(self, x, y=None):
        x = self.linear(x)  # (batch_size, input_size) -> (batch_size, 1)
        y_pred = self.activation(x)  # (batch_size, 1) -> (batch_size, 1)
        if y is not None:
            return self.loss(y_pred, y)  # 预测值和真实值计算损失
        else:
            return y_pred  # 输出预测结果


# 生成一个样本, 样本的生成方法代表了我们要学习的规律
# 随机生成一个5维向量如果第一个值大于第五个值认为是正样本反之为负样本
def build_sample():
    x = np.random.random(5)
    if x[0] > x[4]:
        return x, 1
    else:
        return x, 0


# 随机生成一批样本
# 正负样本均匀生成
def build_dataset(total_sample_num):
    X = []
    Y = []
    for i in range(total_sample_num):
        x, y = build_sample()
        X.append(x)
        Y.append([y])
    return torch.FloatTensor(X), torch.FloatTensor(Y)


# 测试代码
# 用来测试每轮模型的准确率
def evaluate(model):
    model.eval()
    test_sample_num = 100
    x, y = build_dataset(test_sample_num)
    print("本次预测集中共有%d个正样本%d个负样本" % (sum(y), test_sample_num - sum(y)))
    correct, wrong = 0, 0
    with torch.no_grad():
        y_pred = model(x)  # 模型预测
        for y_p, y_t in zip(y_pred, y):  # 与真实标签进行对比
            if float(y_p) < 0.5 and int(y_t) == 0:
                correct += 1  # 负样本判断正确
            elif float(y_p) >= 0.5 and int(y_t) == 1:
                correct += 1  # 正样本判断正确
            else:
                wrong += 1
    print("正确预测个数%d, 正确率%f" % (correct, correct / (correct + wrong)))
    return correct / (correct + wrong)


def main():
    # 配置参数
    epoch_num = 10  # 训练轮数
    batch_size = 20  # 每次训练样本个数
    train_sample = 5000  # 每轮训练总共训练的样本总数
    input_size = 5  # 输入向量维度
    learning_rate = 0.001  # 学习率
    # 建立模型
    model = TorchModel(input_size)
    # 选择优化器
    optim = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=learning_rate)
    log = []
    # 创建训练集正常任务是读取训练集
    train_x, train_y = build_dataset(train_sample)
    # 训练过程
    for epoch in range(epoch_num):
        model.train()
        watch_loss = []
        for batch_index in range(train_sample // batch_size):
            x = train_x[batch_index * batch_size : (batch_index + 1) * batch_size]
            y = train_y[batch_index * batch_size : (batch_index + 1) * batch_size]
            optim.zero_grad()  # 梯度归零
            loss = model(x, y)  # 计算loss
            loss.backward()  # 计算梯度
            optim.step()  # 更新权重
            watch_loss.append(loss.item())
        print("=========\n第%d轮平均loss:%f" % (epoch + 1, np.mean(watch_loss)))
        acc = evaluate(model)  # 测试本轮模型结果
        log.append([acc, float(np.mean(watch_loss))])
    # 保存模型
    torch.save(model.state_dict(), "model.pth")
    # 画图
    print(log)
    plt.plot(range(len(log)), [l[0] for l in log], label="acc")  # 画acc曲线
    plt.plot(range(len(log)), [l[1] for l in log], label="loss")  # 画loss曲线
    plt.legend()
    plt.show()
    return


# 使用训练好的模型做预测
def predict(model_path, input_vec):
    input_size = 5
    model = TorchModel(input_size)
    model.load_state_dict(torch.load(model_path))  # 加载训练好的权重
    # print(model.state_dict())

    model.eval()  # 测试模式
    with torch.no_grad():  # 不计算梯度
        result = model.forward(torch.FloatTensor(input_vec))  # 模型预测
    for vec, res in zip(input_vec, result):
        print("输入%s, 预测类别%d, 概率值%f" % (vec, round(float(res)), res))  # 打印结果


if __name__ == "__main__":
    main()
    test_vec = [[0.47889086,0.15229675,0.31082123,0.03504317,0.18920843],
                [0.94963533,0.5524256,0.95758807,0.95520434,0.84890681],
                [0.78797868,0.67482528,0.13625847,0.34675372,0.99871392],
                [0.1349776,0.59416669,0.92579291,0.41567412,0.7358894]]
    predict("model.pth", test_vec)