1.6 阿达马积

定义

  如果没学过线性代数会认为矩阵的乘法就是对应的每个元素相乘像矩阵的加法一样这种乘法就是阿达马积Hadamard product也叫舒尔积Schur product..有些地方翻译为哈达玛积是翻译错误因为阿达马是法国人法语中H是不发音的。它的定义是一个小圆圈：
$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right) \\ B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right) \\ A\circ B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1n}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& \cdots & a_{2n}{b}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{m1}& a_{m2}{b}_{m2}& \cdots & a_{mn}{b}_{mn}\end{array}\right) \end{gathered}$$

舒尔积定理

  数学家们擅长找规律哈。舒尔马上就发现了方阵的行列式在阿达马积下的一个规律：
$$|A\circ B|\ge |A||B|$$
  也就是说阿达马积的行列式要大于等于各自的行列式的乘积。这个规律就叫做舒尔积定理Schur product theorem。

波利亚-塞戈定理

  波利亚-塞戈定理Pólya and Szegö theorem是关于阿达马积的特征值的。AB是两个半正定矩阵所以他们的特征值都是大于等于0的他们的特征值按从小到大排列然后$A\circ B$的特征值的范围就确定了大于等于各自最小特征值的乘积小于等于各自最大特征值的乘积也就是:
$${\lambda }_{min}(A){\lambda }_{min}(B)\le \lambda (A\circ B)\le {\lambda }_{max}(A){\lambda }_{max}(B)$$

python实现

  这种代码就非常简单了：

    def hadamard(self, other):
        array = copy.deepcopy(self.__lines)
        m = len(array)
        n = len(array[0])
        for i in range(0, m):
            for j in range(0, n):
                array[i][j] = array[i][j] * other.__lines[i][j]
        return Matrix(array)

numpy实现

  numpy就简单了一个星号就可以了以下是测试代码：

    def test(self):
        a = np.array(
            [[0, 2, -2], [-3, -4, 1], [-3, -2, -1]])
        b = np.array(
            [[0, 2, -2], [-3, -4, 1], [-3, -2, -1]])
        print("A=", a)
        print("B=", b)
        print("AB=", a * b)

&emsp 输出为：

A= [[ 0  2 -2]
 [-3 -4  1]
 [-3 -2 -1]]
B= [[ 0  2 -2]
 [-3 -4  1]
 [-3 -2 -1]]
AB= [[ 0  4  4]
 [ 9 16  1]
 [ 9  4  1]]