[蓝桥杯 2018 国 B] 矩阵求和

题目描述

经过重重笔试面试的考验小明成功进入 Macrohard 公司工作。

今天小明的任务是填满这么一张表

表有 n 行 n 列行和列的编号都从 1 算起。

其中第 ii 行第 jj 个元素的值是 gcd(i,j) 的平方gcd 表示最大公约数以下是这个表的前四行的前四列

1  1  1  1
1  4  1  4
1  1  9  1
1  4  1 16

小明突然冒出一个奇怪的想法他想知道这张表中所有元素的和。 由于表过于庞大他希望借助计算机的力量。

输入格式

一行一个正整数 n 意义见题。

输出格式

一行一个数表示所有元素的和。由于答案比较大请输出模1000000007即109+7后的结果。

输入输出样例

输入 #1复制

4

输出 #1复制

48

说明/提示

对于 30\%30% 的数据n\le 1000n≤1000。

存在 10\%10% 的数据n = 10^5n=105。

对于 60\%60% 的数据n\le 10^6n≤106。

对于 100\%100% 的数据n\le 10^7n≤107。

 解题思路要求∑∑gcd(i,j)²

枚举最大公约数d,∑d∑∑(gcd(i,j)²==d)

把d替换成d²∑d²∑∑(gcd(i,j)==d)

又(i/gcd(i,j))*(j/gcd(i,j))=1上式化为

 第三个求和可以用欧拉函数表示即

 接下来线性筛法求欧拉函数然后前缀和即可。

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
int presum[N];
vector<int>prime;
bool vis[N];
int phi[N];
void get_phi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            phi[i]=i-1;
            prime.emplace_back(i);
        }
        for(int j=0;j<prime.size()&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main( )
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n;cin>>n;
    int mod=1e9+7;
    get_phi(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        presum[i]=presum[i-1]+phi[i];presum[i]%=mod;
    }
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=(ans+((i*i%mod)*(presum[n/i]*2-1))%mod)%mod;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}