算法总结--线段树

声明(叠甲)：鄙人水平有限，本文为作者的学习总结，仅供参考。

1.线段树介绍

线段树说是算法，更应该算是一种二叉树数据结构的使用。
其每个树的节点表示一个区间，其孩子节点表示该区间二分下来的两个节点，其值可以表示这个区间数据的某种运算，如最值、求和等，以下以数组 [1,2,3,4] 为栗子说明,如下所示，根节点表示区间 [1,4] 的和，其它以此类推。

node：当前区间数的和[区间的左边界,区间的右边界]
           10[1,4]             
           /     \           
       3[1,2]    7[3,4]          
       /    \    /    \       
    1[1]  2[2]  3[3] 4[4]      

有如上所示的二叉树以后我们获取区间和的时间复杂度就从 O(n) 到了 O(logn),但数据量十分庞大时这是十分重要的。当然，在节点维护时需要使用一种特殊的方法进行 —— Lazy-tag 技术，这让修改的和时间复杂为降为了O(logn)。

2.二叉树

上面说过，线段树是二叉树的一种，故在深入线段树时，我们先来了解一下二叉树的一些知识点：

如下编号为 K 的节点对应的左孩子为 K+K,右孩子为 K+K+1
在程序为了提高运行效率常常写成 K<<1 与 K<<1|1

node：节点编号
       K             
    /     \           
  K<<1   K<<1|1     

3.Lazy-tag 技术

对于线段树来说，Lazy-tag 技术是十分的重要的，这是将时间复杂减小来的原因。
其实现的方法具体来说就是使用一些数来对节点进行标记，从而使只有对应区间的根节点会被进行更改，不其内部的值不做更改，具体代码实现见下文。

4.举个栗子——线段树模板题

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 k。
2. 求出某区间每一个数的和。

这种要多次对不同的区间进行操作，线段树是很好的选择，其代码实现可以分为以下几个步骤

4.1.建树

如论是维护还是查询我们都应该先有一个对应的目标不是

// 创建一个开始编号为 index
// 区间为 [l,r] 的一个线段树
void build_tree(int index,int l,int r)    
{
    // 如果为叶节点，即区间中自有一个数
    if(r == l)
    {
        tree[index] = nums[l];
        return;
    }
    // 递归遍历所有的节点
    int m = (r+l) >> 1; // 二分区间
    build_tree(index<<1,l,m);// 左孩子
    build_tree(index<<1|1,m+1,r);// 右孩子
    // 赋值，父节点值为其俩孩子的和
    tree[index] = treep[index<<1] + treep[index<<1|1];
}

4.2.维护线段树

在维护数据时，我使用 Lazy-tag 的方法进行处理，具体步骤如下：

【1】 判断区间 [l,r] 是否在 [x,y] 内
【2】 根据该节点是否被标记来确定是否要进行 lazy-tag的下传，通常使用push_down函数来实现
【3】判断是否进行左右节点的递归
【4】更新父节点的数据

// 父节点的 lazy-tag 向其孩子进行传递
void push_down(int index,int l,int r)
{
    int m = (l+r)>>1;
    // 左孩子
    tree[index<<1] += tag[index]*(m-l+1);
    tag[index<<1] += tag[index];
    // 右孩子
    tree[index<<1|] += tag[index]*(r-m);
    tag[index<<1|] += tag[index];  
    // 去除父节点的标志
    tag[index] = 0；
}
// 对编号为 index，区间 [l,r] 的中 [x,y] 进行修改
void update(int index,int l,int r,int x,int y)
{
    // [1] 判断区间 [l,r] 是否在 [x,y] 内
    if(x <= l && y >= r)
    {
        tree[index] += k*(r-l+1);
        tag[index] += k;
        return;
    }
    // [2] 根据该节点是否被标记来确定是否要进行 lazy-tag的下传，通常使用push_down函数来实现
    if(tag[index] != 0) push_down(index,l,r);
    // [3] 判断是否进行左右节点的递归
    int m = (l+r)>>1;
    if(x <= m) update(index,l,m,x,y);  // 左边
    if(y >  m) update(index,m+1,r,x,y);// 右边 
    // [4] 更新父节点的数据
    tree[index] = treep[index<<1] + treep[index<<1|1];
}

4.3.查询

需要注意的是，查询时也需要进行 Lazy-tag 的下传

// 查询 [l,r] 中的 [x,y] 区间
ll calc(int index,int l,int r,int x,int y)
{
	// [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖
	if(x <= l && y >= r)
	{
		return tree[index];  
	} 
	// [2] lazy-tag 下传
	if(tag[index] != 0)
		push_down(index,l,r); 
	// [3] 递归左右孩子节点，并计算结果 
	ll ret = 0;
	int m = (l+r)>>1;
	if(x <= m) ret += calc(index<<1,l,m,x,y);     // 左边 
	if(y >  m) ret += calc(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边 
	return ret; 
}

4.4.AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long int
#define N_MAX 100000

int n,m,k;
ll nums[N_MAX+1],tree[N_MAX*4+1],tag[N_MAX*4+1];

// 建树
void build_tree(int index,int l,int r)
{
	// 初始化标记
	tag[index] = 0;
	// 如果是叶节点
	
	if(l == r)
	{
		tree[index] = nums[l];
		return;	
	} 
	// 递归遍历所有节点
	int m = (l+r) >> 1; 
	build_tree(index<<1,l,m);    // 左孩子
	build_tree(index<<1|1,m+1,r);// 右孩子 
	// 父节点的值为两孩子 
	tree[index] = tree[index<<1] + tree[index<<1|1];
}
// lazy-tag 下传
// 需要对左右孩子的 tag 与值都进行修改 
void push_down(int index,int l,int r)
{
	int m = (l+r)>>1; 
	// 左孩子
	tag[index <<1] += tag[index];			
	tree[index<<1] += tag[index]*(m-l+1); 
	// 右孩子
	tag[index <<1|1] += tag[index];		
	tree[index<<1|1] += tag[index]*(r-m); 
	// 清除自己的标志	
	tag[index] = 0;
} 
// 更新线段树节点的数据
void update(int index,int l,int r,int x,int y) 
{
	// [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖
	if(x <= l && y >= r)
	{
		// 更新数据与 lazy-tag
		tree[index] += k*(r-l+1);
		tag[index] += k;
		return;	
	} 
	// [2] lazy-tag 下传
	if(tag[index] != 0)
		push_down(index,l,r);
	// [3] 递归左右孩子节点
	int m = (l+r)>>1;
	if(x <= m) update(index<<1,l,m,x,y);	 // 左边 
	if(y >  m) update(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边 
	// [4] 更新数据
	tree[index] = tree[index<<1] + tree[index<<1|1];
}
// 查询
ll calc(int index,int l,int r,int x,int y)
{
	// [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖
	if(x <= l && y >= r)
	{
		return tree[index];  
	} 
	// [2] lazy-tag 下传
	if(tag[index] != 0)
		push_down(index,l,r); 
	// [3] 递归左右孩子节点，并计算结果 
	ll ret = 0;
	int m = (l+r)>>1;
	if(x <= m) ret += calc(index<<1,l,m,x,y);     // 左边 
	if(y >  m) ret += calc(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边 
	return ret; 
}
void print_tree()
{
	cout << "tree: ";
	for(int i = 1;i <= 7;i++)
	{
		cout << tree[i] << " ";
	}
	cout << endl;
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	// [1] 获取数据并进行建树
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> nums[i]; 	
	} 
	build_tree(1,1,n); 	
	while(m--)
	{
		int x,y,op;
		cin >> op >> x >> y;
		if(op == 1) // 更新数据 
		{
			cin >> k;
			update(1,1,n,x,y); 
		}
		else 	   // 搜索数据 
		{
			cout << calc(1,1,n,x,y) << endl;	
		} 
	}
}

5.参考

洛谷线段树题解
木子喵的算法课
线段树的懒标记与应用
本文到此结束，希望对您有所帮助。