曲线曲率介绍和python求法

曲率

比如我们想知道曲线 $\mathbf{AB}$ 上任一点处的弯曲程度怎么办呢这时就需要一个十分重要的概念——曲率。

维基百科

• 在数学中曲率curvature是描述几何体弯曲程度的量例如曲面偏离平面的程度或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧式空间中后者则是直接定义在黎曼流形上。
• 曲线的曲率通常是标量但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象例如曲面或者一般的 n 维空间曲率要用更复杂的线性代数来描述例如一般的黎曼曲率张量。

曲率包含的知识点很多如下所示

1.1 弧长参数 s

弧长参数又称为自然参数该参数的引入是意义非凡的。一个最为明显的意义在于弧长作为参数就是将参数赋予了几何意义这样在几何意义上就可以将参数和曲线本身统一起来。

那么现在就有一个问题了为什么弧长可以作为参数 说明这个问题之前我们需要先知道如何求一条曲线的弧长。

设 $C^1$ 类曲线的参数方程为

注$C^1$ 类曲线是指光滑曲线。

我们按照上面的方式划分为 $n$ 个小段之后我们用直线将相邻的两个点连结起来最后会得到一条折线这条折线的长度记为

取 λ n = max ⁡ a ≤ t ≤ b { t i − t i − 1 } \lambda_n=\max_{a\leq t\leq b}\{t_i-t_{i-1}\} λn​=maxa≤t≤b​{ti​−ti−1​}并使 ${\lim }_{n\to +\infty }{\lambda }_n=0$此时 ${\sigma }_n$ 趋于一共与分点无关的确定的极限 $\sigma$ 这个极限我们就定义为曲线 $P_0{P}_n$ 的长度即

参考资料

[1] 什么是曲率什么又是挠率2019.7