区间dp学习笔记

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例题1：洛谷 P1775

我们可以设 dp[l][r] 为将区间 [l,r] 区间内的所有石子都合并成一堆时造成的最小代价。

如何求出 dp[l][r] 呢？此时我们可以枚举一个断点 k，把 [l,r] 区间分成两个区间：$[l,k]$ 和 [k+1,r]，很明显，k ∈ [l,r-1]

现在就很容易推出状态转移方程了。也就是把 [l,k] 合成一堆石子花费的代价加上 [k+1][r] 合成一堆石子花费的代价加上 [l,r] 区间石子个数的总和（也就是把这两个区间各自合成一堆后再合成产生的代价）

此时我们可以使用一个前缀和数组 sum[i]，来表示区间石子的总和。

转移方程：dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1])

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int n;
int a[310];
int sum[310];
int dp[310][310];
int main (){
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> a[i];
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        dp[i][i] = 0;//只有一堆不需要代价
    }
    for(int len = 2; len <= n; len ++){
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++){
            int r = l + len - 1;
            for(int k = 1; k <= r - 1; k ++){//断点
                dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r] + (sum[r] - sum[l - 1]));
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n];
    return 0;
}