【920信号与系统笔记】第二章 连续时间系统的时域分析

2.1引言

综述

线性连续时间系统的时域分析就是建立和求解线性微分方程的过程

n阶线性系统

1.数学模型

2.解法

古典解法

解法系统全响应 = 自然响应齐次方程通解+ 受迫响应非齐次方程特解
缺点对于复杂激励信号的求解困难

近代时域法卷积法、算子法

解法 系统全响应 = 零输入响应 古典解法求解+ 零状态响应叠加积分法或变换域法

叠加积分法

1.本质

利用线性系统的齐次性和叠加性将各个子信号的响应叠加得到整个系统的零状态响应

2. 待解决问题

选用何种子信号作为任意复杂信号的基础
如何分解复杂信号
如何求子信号响应
如何将子信号响应叠加

2.2系统方程的算子表示法

算子及其运算规则

1.微分算子和积分算子

2.运算规则

  代数运算规则一般适用只是在分子分母中或在等式两边相同的算子符号不能随便消去

3.电容和电感的伏安特性

转移算子

1.定义

2.用转移算子表示响应与激励之间的关系

2.3系统零输入响应

本质

求解齐次线性微分方程

解法

1.解系统的特征方程求转移算子Hp的极点
2.根据特征根确定解的形式

当特征根全为单根时式中的λ即为自然频率

当特征根有k重根时

当特征根为虚数时

3.根据初始条件确定待定系数n阶微分方程应有n个初始条件

2.4奇异函数

定义

一种理想化函数这些函数或其各阶导数都有一个或多个间断点这些点上的导数值用一般方法不好确定

作用

用于信号的时域分解

常用的奇异函数

1.单位阶跃函数

波形

表达式

注阶跃函数在发生跃变的地方函数值未定义。
裁切作用任何函数乘以ε(t)相当于将t<0部分全部切除的作用使之成为有始函数。

2.单位冲激函数

注意单位冲激函数零点的值是无穷单位样值函数零点的值是1

波形

定义

性质

1.抽样性质

2.单位阶跃函数和单位冲激函数互为微分和积分关系
3. 单位冲激函数是偶函数
4.是非功非能信号
5.尺度变换性质

6.单位冲激函数的导数是冲激偶

性质 当t趋于零负时为强度无限大的正冲激函数当t趋于零正时为强度无限大的负冲激函数。
波形

2.5信号时域分解

任意函数表示为阶跃信号的和了解即可

任意函数表示为冲激函数的和

核心思想分割求近似求和取极限。
应用范围可用于有始信号分解也可用于一般信号。
公式

2.6阶跃和冲激响应

定义

阶跃响应系统对阶跃信号的零状态响应
冲激响应系统对冲激信号的零状态响应

两者关系

单位冲激响应应当是单位阶跃响应的导数

0时刻的概念

零负时刻起始状态
零正时刻初始状态
要加以区分的原因激励若是奇异函数t=0时刻状态可能发生跳变实际工程中不存在此情况。

冲激响应的求解方法

系统方程法根据微分方程求解核心步骤是部分分式分解理论基础是拉氏变换

系统平衡法纯数学方法难以掌握
初始条件法将冲激激励转化为零正时刻的初始条件然后利用零输入响应的求解方法。
LT变换法最常用 即拉氏变换法H(s)进行拉氏反变换

2.7叠加积分

目的

通过冲激响应或阶跃响应求解系统对激励信号的响应即零状态响应

通过阶跃响应求解系统响应了解即可

通过冲激响应求解系统响应

卷积积分公式

应用范围有始信号作用于因果系统且为线性非时变系统。
积分下限取0-的原因考虑到t=0处可能有冲激函数或其导数存在

2.8卷积及其性质

定义式

几何步骤

反褶—>平移—>相乘—>叠加积分

常见的卷积积分表

两个门函数卷积

注从门函数卷积可以看出两个时限信号卷积一定是越卷越长

门函数宽度相同

宽度不同

卷积的性质

互换率
分配律
结合律
函数卷积后的微分两个函数相卷积后的导数等于两函数其中之一的导数与另外一函数相卷积
函数卷积后的积分两个函数相卷积后的积分等于两函数之一的积分与另一函数相卷积
函数延时后的卷积

2.9线性系统响应的时域求解

求解步骤

1.求系统的转移算子
2.求系统的零输入响应如果初始条件为零则可跳过本步
3.求系统的零状态响应先求冲激响应再通过卷积积分
4.叠加总响应 = 零输入 + 零状态

自然响应和受迫响应

自然响应指数部分t函数前的系数为系统的特征频率的分量由系统本身的性质决定
受迫响应指数部分t函数前的系数不是系统的特征频率的分量由激励信号的性质决定

瞬态响应和稳态响应

瞬态响应随着时间增长趋于零的分量
稳态响应随着时间增长趋于稳定的分量

三组概念间的关系

零输入响应完全由系统性质决定所以属于自然响应一部分
零状态响应由系统性质对应部分自然响应和激励信号对应受迫响应一起决定。
也可以由第五章零状态响应的极点来理解。
以上为个人理解。