【MATLAB】最短路径Floyd算法

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1.Floyed算法

1.1适用范围

$\bullet$ 求每队顶点的最短路径

$\bullet$ 有向图、无向图和混合图

1.2算法思想

直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次递推地构造出n个矩阵D(1)D(2)…D(n)每次加入一个点然后更新最短路径矩阵DD(n)是图的最短距离矩阵同时引入一个后继点矩阵path记录两点间的最短路径。

1.3实例

对于如下无向图

我们可以得如下带权邻接矩阵
$$\left[\begin{array}{cccccc}0& 7& 9& inf& inf& 14\\ 7& 0& 10& 15& inf& inf\\ 9& 10& 0& 11& inf& 2\\ inf& 15& 11& 0& 6& inf\\ inf& inf& inf& 6& 0& 9\\ 14& inf& 2& inf& 9& 0\end{array}\right]$$

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实现步骤

$\bullet$ 变量输入变量与输出变量

输入变量	含义
w矩阵	带权邻接矩阵
start	初始点
terminal	终止点

输出变量	含义
D矩阵	D(i,j)表示i到j的最短路径
path矩阵	path(i,j)表示i到j之间的最短路径上顶点i的后继点
min1	start与terminal之间的最短距离
path1	start与terminal之间的最短路径

$\bullet$ 赋初值对所有的i、j$$D(i,j)=w(i,j),path(i,j)=j,k=1(k表示加入的顶点个数)$$

$\bullet$ 更新D(i,j)、path(i,j)对于所有i、j若$$D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)$$
则$$D(i,j)=D(i,k)+D(k,j),path(i,j)=path(i,k),k=k+1$$

$\bullet$ 每次插入一个顶点重复进行更新操作直到 k=n+1 终止。

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2.代码

2.1floyd函数

function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
%D(i,j)表示i到j的最短路径path(i,j)表示i到j之间的最短路径上顶点i的后继点。
%min1返回start和terminal之间的最短距离path1返回start和terminal之间的最短路径
%a为带权邻接矩阵start、terminal分别是起始点和终止点

D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
%n为顶点个数生成D、path矩阵

%遍历一遍矩阵初始化path矩阵先将可以直接相连的点的path进行补充
for i=1:n
    for j=1:n
        if D(i,j)~=inf
            path(i,j)=j;
        end  
    end
end

%三重遍历查找是否有中继点可以使得路径缩短若有则更新D、path矩阵
for k=1:n
    for i=1:n
        for j=1:n
            if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
                D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
                path(i,j)=path(i,k);
            end 
        end
    end
%这里演示了每一步的调整过程
k,D,path
end

%判断输出参数是否为三个
if nargin==3
    min1=D(start,terminal);
    m(1)=start;
    i=1;
    path1=[ ];   
    %根据path路径一步一步跳转找到具体路径返回path1
    while   path(m(i),terminal)~=terminal
        k=i+1;                                
        m(k)=path(m(i),terminal);
        i=i+1;
    end
    m(i+1)=terminal;
    path1=m;
end   

2.2调用函数

w = [0,7,9,inf,inf,14;
     7,0,10,15,inf,inf;
     9,10,0,11,inf,2;
     inf,15,11,0,6,inf;
     inf,inf,inf,6,0,9;
     14,inf,2,inf,9,0];
 start=1;terminal=5;
[D,path,min,path1]=floyd(w,start,terminal);
D,path,min,path1

结果

这里介绍一下如何看path矩阵查找最短路径比如说要查找1到5的最短路径

$\bullet$ 那么我们就要找 path(1,5)=3所以目前路径为1->3

$\bullet$ 接着我们就要找 path(3,5)=6所以目前路径为1->3->6

$\bullet$ 接着我们就要找 path(6,5)=5到达终点所以最终路径为1->3->6->5

注意调用floyd函数的时候同时还会输出每次插入一个顶点之后D矩阵和path矩阵的变化。

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