【数据结构与算法】前缀和+哈希表算法

一、引入

关于前缀和和哈希这两个概念大家都不陌生在之前的文章中也有过介绍前缀和与差分算法详解

而哈希表最经典的一题莫过于两数之和
题目链接

题目描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target请你在该数组中找出 和为目标值 target 的那 两个 整数并返回它们的数组下标。
你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
你可以按任意顺序返回答案。

示例 1

输入nums = [2,7,11,15], target = 9
输出[0,1]
解释因为 nums[0] + nums[1] == 9 返回 [0, 1] 。

示例 2

输入nums = [3,2,4], target = 6
输出[1,2]

示例 3

输入nums = [3,3], target = 6
输出[0,1]

只会存在一个有效答案

思路分析
我们在遍历这个数组要做两件事
假设现在遍历到下标为idx的位置。
1️⃣ 查看target - nums[idx]是否在哈希表中如果在说明这两个数加起来就是目标和那么就找到了两个下标一个是hash[target - nums[idx]]一个是当前位置idx。
2️⃣ 用哈希表记录两个数据first记录当前位置的值second记录当前位置的下标。

代码

class Solution {
public:
    vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
        unordered_map<int, int> hash;
        int n = nums.size();
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            if(hash.find(target - nums[i]) != hash.end())
            {
                return {hash[target - nums[i]], i};
            }
            hash[nums[i]] = i;
        }
        return {};
    }
};

二、前缀和与哈希表的结合

用一个例子来说明以下

假设我们要寻和为5的连续子数组的个数那么只要前缀和中任意两个数的差值为5那么就找到了子数组。

那么我们就可以直接用哈希表把前缀和的数据存储起来first存前缀和的值second用来标识有多少个子数组。
这里首先要注意初始化哈希表把0的位置先设置成1hash[0] = 1因为当我们计算前缀和为5的位置的时候就标识了从0 ~ 5存在和为5的连续子数组。

假设目标和为k遍历到i位置。
所以现在我们在计算前缀和的同时看看是否存在hash[k - nums[i]]这个的数值大小就代表有多少个连续的子数组和。那么为什么会存在多个呢

因为可能数组存在负数这样就会导致出现这种情况

那么省略号这段区间的前缀总和就为0所以就会存在两段子数组和为5的区间。

三、例题

3.1 和为 K 的子数组

题目链接

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k 请你统计并返回 该数组中和为 k 的连续子数组的个数 。

示例 1

输入nums = [1,1,1], k = 2
输出2

示例 2

输入nums = [1,2,3], k = 3
输出2

思路分析
这个题如果我们只使用前缀和先计算前缀和然后依次遍历看是否有两个数字的差值为k。

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        // 前缀和数组
        vector<int> sums(n + 1);
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
        }
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            for(int j = i; j < n; j++)
            {
                if(sums[j + 1] - sums[i] == k)
                {
                    res++;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

但是提交会发现运行超时。
而由于这道题只关心次数不关注具体的解所以我们能用哈希表来优化效率。
具体的做法在上面已经详细介绍过。

代码

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        unordered_map<int, int> hash;
        int res = 0;
        hash[0] = 1;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            sum += nums[i];
            res += hash[sum - k];
            hash[sum]++;
        }
        return res;
    }
};

3.2 统计「优美子数组」

题目链接

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k。如果某个连续子数组中恰好有 k 个奇数数字我们就认为这个子数组是「优美子数组」。
请返回这个数组中 「优美子数组」 的数目。

示例 1

输入nums = [1,1,2,1,1], k = 3
输出2
解释包含 3 个奇数的子数组是 [1,1,2,1] 和 [1,2,1,1] 。

示例 2

输入nums = [2,4,6], k = 1
输出0
解释数列中不包含任何奇数所以不存在优美子数组。

示例 3

输入nums = [2,2,2,1,2,2,1,2,2,2], k = 2
输出16

思路分析
这道题乍一看无从下手但其实这道题跟上面一道题没什么区别只要把偶数看成0奇数看成1就直接转化成了和为K的子数组问题了。

代码

class Solution {
public:
    int numberOfSubarrays(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        int res = 0;
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0] = 1;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            // 偶数为0,奇数为1
            int ret = 0;
            if(nums[i] % 2)
            {
                ret = 1;
            }
            sum += ret;
            res += hash[sum - k];
            hash[sum]++;
        }
        return res;
    }
};

3.3 路径总和III

题目链接

题目描述

给定一个二叉树的根节点 root 和一个整数 targetSum 求该二叉树里节点值之和等于 targetSum 的 路径 的数目。
路径 不需要从根节点开始也不需要在叶子节点结束但是路径方向必须是向下的只能从父节点到子节点。

示例 1

输入root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], targetSum = 8
输出3
解释和等于 8 的路径有 3 条如图所示。

示例 2

输入root = [5,4,8,11,null,13,4,7,2,null,null,5,1], targetSum = 22
输出3

方法一
这道题可以直接用暴力遍历每个节点都往下统计到叶子节点看有多少个。

代码

class Solution {
public:
    int dfs(TreeNode* root, long long targetSum)
    {
        if(root == nullptr)
        {
            return 0;
        }
        int ret = 0;
        if(targetSum - root->val == 0)
        {
            ret++;
        }
        ret += dfs(root->left, targetSum - root->val);
        ret += dfs(root->right, targetSum - root->val);
        return ret;
    }

    int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
        if(root == nullptr)
        {
            return 0;
        }
        int res = dfs(root, targetSum);
        res += pathSum(root->left, targetSum);
        res += pathSum(root->right, targetSum);
        return res;
    }
};

方法二
第二个方法当然是使用前缀和+哈希表算法。
我们边递归边求前缀和统计的方法还是跟上面一样这里要注意的是当回溯的时候记住要把当前的位置给去掉没递归到当前位置的状态。

代码

class Solution {
public:
    unordered_map<long long, int> hash;
    int cnt;

    void dfs(TreeNode* root, long long sum, int target)
    {
        if(root == nullptr)
        {
            return;
        }
        sum += root->val;
        cnt += hash[sum - target];
        hash[sum]++;
        dfs(root->left, sum, target);
        dfs(root->right, sum, target);
        hash[sum]--;
    }

    int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
        hash[0] = 1;
        cnt = 0;
        dfs(root, 0, targetSum);
        return cnt;
    }
};

四、总结

我们通过上面的问题可以总结出规律遇到求连续的和的时候我们就应该想到用前缀和算法而如果题目只关心次数不关注具体的解我们就可以使用前缀和+哈希表算法。

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