EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件

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文章目录

abstract
一次函数与直线图形
直线方程与方程的直线
直线的斜率
直线分类

倾斜角
倾斜角和斜率的关系

直线方程的形式

点斜式
斜截式
两点式

一般式方程

任何二元一次表示一条直线
一般式

两直线的位置关系

用初等代数的知识推导
从线性方程组的解的结构推导
比值式判定两直线平行
重合判定

总结

判断位置关系的算法
直线平行对应的方程关系👺

两条直线垂直

直线垂直对应的斜率关系
直线垂直判断算法
直线垂直对应的方程关系

abstract

平面直线方程和直线位置关系判定条件

一次函数与直线图形

一般地, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程$ 是一次函数 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_03$ (1)的图形,所表达的意义是:

若点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_04$ 在 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_05$ 上,则它的坐标 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_06$ ,满足 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_07$
反之,若点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_04$ 的坐标 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_06$ 满足(1),则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_04$ 点一定在 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_05$ 上

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程$ 上任意两点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_13$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_14$ 都在同一条直线上,因此 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程$ 是一条直线,即(1)的图形是一条直线
特别的,当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_16$ 时,无论 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 取何值, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_18$ 始终等于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_19$ ,即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_20$ (1-1),

此时的图形仍然是一条直线,并且是平行于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_21$ 轴的直线;

总之,一次函数的图形是直线,但直线的图形不一定对应于某个一次函数
式(1),(1-1)都可以看作一个二元一次方程,因此方程 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ 的解和不垂直于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 轴的直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程$ 上的点存在一一对应的关系,因此直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程$ 是方程 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ 的图形

直线方程与方程的直线

一般地,若以一个(二元一次)方程的解 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_27$ 为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线
由于方程 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ 的图象是一条直线,因此常称 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ 为直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$
方程 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_31$ 和 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_32$ (1-2)分别为:平行于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 轴且过 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_34$ 的直线;垂直于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 轴且过 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_36$ 的直线

直线的斜率

直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_37$ (式(1))被其上的任意不同两点所唯一确定,设直线上两点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_38$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_39$ 坐标可以算出直线的斜率 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_40$

通常我们把直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_07$ 中的系数 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_40$ 称为直线的斜率

由于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_43$ 在 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_37$ 上,有 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_45$ ; $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_46$ ;两式相减: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_47$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_48$ ,所以 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_49$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_50$ (1-3)
若用增量 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_51$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_52$ ,则式(1-3)可以表示为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_53$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_54$
显然,垂直于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_55$ 轴的直线(1-2)斜率不存在,其也不是一次函数
(1-1)不是一次函数,但仍然是一条直线,并且仍然存在斜率,只不过斜率为0

直线分类

此后,将直线方程分为两类,存在斜率和不存在斜率的(不再以是否为一次函数为分类标准)
存在斜率的直线可以表示为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ ,而不存在斜率的直线表示为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_32$
前者是讨论的重点

倾斜角

方程 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ 的图形式过点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_34$ 且斜率为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_60$ 的直线
斜率 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_60$ 决定了这条直线相对于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 轴的倾斜程度
一般地, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_55$ 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,通常记为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_64$

规定与 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_21$ 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角

倾斜角和斜率的关系

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_66$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_67$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_68$
$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_16$ 时,直线平行(重合)于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 轴
$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_71$ 时,直线的倾斜角为锐角, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_64$ 随 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_60$ 的增大而增大
$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_74$ 时,直线的倾斜角为钝角, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_64$ 随 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_60$ 的增大而增大
当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_60$ 不存在时,倾斜角为直角

直线方程的形式

下面假设直线的斜率存在
如果不存在,则只能表示为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_32$ 的形式,无需讨论

点斜式

已知直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程$ 过点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_80$ ,且斜率为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_60$ ,直线方程为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_82$ (1),称为直线的点斜式方程

设点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_83$ 为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_05$ 上不同于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_85$ 的任一点,则直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_05$ 的斜率 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_40$ 由 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_88$ 两点确定为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_89$ ,整理得(1)式
特别的,当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_90$ 时,方程变为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_91$ ,即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_92$ ,(1-1)

斜截式

当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_80$ 为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_18$ 轴上的点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_34$ 时,式(1)写成 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_96$ ,即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_02$ (2)
斜截式可以理解为点斜式的一种特殊情况,其中 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_19$ 为直线的截距
当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_99$ 时,(2)是一次函数解析式, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_16$ 时,则不是一次函数

两点式

已知两点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_101$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_102$ ,且 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_103$ ,求直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_104$ 的方程
由两点可以确定 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_104$ 直线的斜率: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_106$ ,由点斜式, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_107$ ,变形可得 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_108$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_109$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_103$ (3)称为两点式方程
使用增量表示, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_111$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_112$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_113$

一般式方程

基于点斜式推导出的若干直线形式都依赖于前提:直线斜率存在(不垂直于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 轴)
若以二元一次方程的角度看,斜率不存在的直线表示为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_32$ ,即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_18$ 的系数为0,而 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_17$ 的系数为1
对于每一条直线,都可以求出其对应的二元一次方程,从而任何直线都是关于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_118$ 的二元一次方程

任何二元一次表示一条直线

设关于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_118$ 的二元一次方程的一般形式为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_120$ ,(1) $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_121$ ,即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_122$ 不同时为0

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_123$ 时,式(1)化为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_124$ ,即斜截式方程

其表示的是斜率为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_125$ ,且 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_126$ 轴上的截距为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_127$ 的直线

当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_128$ ,此时 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_129$ ,式(1)化为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_130$

其表示的是于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_126$ 轴平行或重合的直线

综上,关于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_118$ 的二元一次方程表示一条直线

一般式

综上讨论,方程(1)称为直线的一般式方程

两直线的位置关系

设两条直线分别为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_133$ : $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_134$ ; $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_135$ : $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_136$ ,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

使用高斯消元法,若先消去 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_55$ ,则

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_138$
$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_139$
两式相减, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_140$ (2-1)

类似的,若先消去 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_141$

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_142$
$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_143$
可得: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_144$ ,(2-2)

由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_145$ ,(3)

有: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_146$
类似的可得 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_147$
因此 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_148$ 时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_149$

当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_150$ (3-0)时,且 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_151$ (3-1)或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_152$ (3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

这一点可以从式(2-2)看出,当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_153$ 时,方程(2)写成 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_154$ ,若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_155$ ,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解
从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

方程组(1)可以写作:

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_156$
该线性方程组的系数矩阵

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_157$

由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_158$ 时方程组(1)有唯一解;即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_159$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_148$
或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_161$

这里假设 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_162$

当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_163$ ,两边乘以 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_164$ ,得式(3),这就是有解的条件
无解的条件是 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_165$ ,且 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_166$ ,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_167$ ,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_168$

重合判定

对于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_169$ ,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_170$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_171$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_172$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_173$ ,( $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_174$ )(4)
在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_175$ 方程可以写成 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_176$ (5)

显然, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_177$ 方程的解集相同,此时两直线重合

总结

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_178$ 的位置关系有3种,相交,平行,重合

此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)
平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)
重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同)

(单点)相交,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_179$ 或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_180$
平行:

$EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_153$ 且 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_182$ 或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_183$ 中的一个成立
或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_184$

重合: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_185$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_186$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_187$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_188$ 或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_189$

用表格表示:

	条件不全为0()	比值式条件
相交于一点
平行不重合	且
重合	,,,

判断位置关系的算法

由两直线的一般方程为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_202$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_203$ 赋值( $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_204$ 不同时为0)
计算 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_205$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_206$ 或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_207$
若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_208$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_178$ 相交
若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_210$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_211$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_178$ 平行
若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_210$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_214$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_178$ 重合

直线平行对应的方程关系👺

若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_216$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_217$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_218$ ,则两直线平行
证明: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_219$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_220$ ; $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_221$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_222$ 或 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_223$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_224$

当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_123$ 时, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_226$ ,两直线平行
当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_128$ 时,由直线的定义, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_228$ 不同时为0,从而 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_128$ 时, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_129$ ,

方法1: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_231$ =0,但 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_232$ ,所以 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_233$ ,两直线平行
方法2:从直线本身特点判断

两直线分别为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_234$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_235$ ,即分别为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_236$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_237$ ,这两条直线都与 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_238$ 轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合
由于 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_239$ ,从而两直线平行而不重合

一般地,我们可以把与直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_240$ 平行(不重合)的直线设为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_241$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_242$

两条直线垂直

设两条直线分别为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_175$ : $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_244$ ; $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_245$ : $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_246$
在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况
由直线平行对应的方程关系可知, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_175$ 和 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_248$ : $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_249$ 平行, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_245$ 和 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_251$ : $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_252$ 平行,从而研究 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_253$ 的垂直条件时,可以转换为研究 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_254$ 的垂直条件
显然, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_254$ 是通过坐标原点 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_256$ 的直线,在直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_254$ 上分别取原点外的点,分别设为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_38$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_39$ ,并且 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_260$
设 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_254$ 斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_262$ ,直线可以分别表示为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_263$ (0-1), $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_264$ (0-2),即" $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_斜率_265$ "的形式

由两点间距离公式: $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_266$
勾股定理 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_267$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_268$ = $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_269$
化简后可得 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_270$ (1),代入(0-1),(0-2),得 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_271$ (2)
因为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_272$ ,所以 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_273$ (2-1)
对(2-1)两边同乘 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_274$ ,得 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_275$ (2-2)
逆向推导可知, $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_276$ 相互垂直,也就有 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_177$ 相互垂直

若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_254$ 中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

当 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_279$ 时,可知另一条也与坐标轴重合或平行
不妨设 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_280$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_281$ ,此时 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_282$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_283$
这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_279$

综上,平面内任意两条直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_253$ 垂直的条件是 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_286$ ,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

设 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_178$ 的斜率存在且分别为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线间位置关系_288$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_289$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_290$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_291$ ,
由式(2-2), $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_292$ ,从而 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_293$ (3)
这就是说,两条斜率存在的直线 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_线性方程组_178$ 垂直的条件是 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_293$

直线垂直判断算法

由两直线的一般方程为 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_296$ , $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_297$ 赋值( $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_296$ 不同时为0)
计算 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_299$
若 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_直线方程_300$ ,则 $EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件_平面_301$ ,否则不垂直
例: