考研数学基础30讲

第1讲 高等数学预备知识

一、函数的概念与特性

1.函数

设x与y是两个变量D是一个给定的数集若对于每个值x$\in$D按照一定的法则f有一个确定的值y与之对应则称y为x的函数记作$y=f(x)$。称x为自变量y为因变量。称数集D为定义域定义域一般由实际背景中变量的具体意义或函数对应法则的要求确定。

2.反函数

设函数$y=f(x)$的定义域为D值域为R。如果对于每一个$y\in$R必存在唯一一个x$\in$D使得$y=f(x)$成立则由此定义了一个新函数x=$\phi$(y),这个函数就称为函数$y=f(x)$的反函数一般记作$x=f^{-1}(y)$,它的定义域是R值域为D。相对于反函数来说原来的函数也称为**直接函数
**。

• 需要说明两点
  • 第一严格单调函数必有反函数。如函数$y=x^2$($x\in$[$0,+\infty$]))是严格单调函数故它有反函数$x=\sqrt{y}$。
  • 第二若把$x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$的图形画在同一坐标系则它们完全重合。只有把$y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$写成$y=f^{-1}(x)$后它们的图形才关于$y=x$对称,事实上这也是字母x与y互换的结果。

3.复合函数

设$y=f(\mu )$的定义域为$D_1$,函数$\mu =g(x)$在D上有定义且$g(D)\subset D_1$则有
$$y=f[g(x)](x\subset D)$$
确定的函数称为由$\mu =g(x)$和$y=f(\mu )$构成的复合函数它的定义域为D$\mu$称为中间变量要掌握复合的方法。

4.函数的四种特性

1有界性
设$f(x)$的定义域为D数集$I\in D$。如果存在某个正数M使得对任意$x\in I$有$|f(x)|\le M$则称$f(x)$在$I$上有界;如果M不存在则称$f(x)在I$上无界。

2单调性

3奇偶性

4周期性