数据结构-详解优先队列的二叉堆(最大堆)原理、实现和应用-C和Python

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一、堆的基础

1.1 优先队列和堆

优先队列(Priority Queue):特殊的“队列”,取出元素顺序是按元素优先权(关键字)大小,而非元素进入队列的先后顺序。
若采用数组或链表直接实现优先队列,代价高。依靠数组,基于完全二叉树结构实现优先队列,即堆效率更高。一般来说堆代指二叉堆。
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优先队列的完全二叉树(堆)表示

1.2 堆

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堆序性: 父节点元素值比孩子节点大(小)
  • 最大堆(MaxHeap), 也称“大顶堆”:根节点为最大值;
  • 最小堆(MinHeap), 也称“小顶堆” :根节点为最小值。
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通常以最大堆为例。 最小堆实现,直接把最大堆元素值取负。

二、最大堆实现

2.1 最大堆操作

最大堆(MaxHeap)数据结构实际为完全二叉树,每个结点的元素值不小于其子结点的元素值。
其主要操作有:
  • MaxHeap InitializeHeap( int MaxSize ):初始化一个空的最大堆。
  • Boolean IsFull( MaxHeap H ):判断最大堆H是否已满。
  • Boolean IsEmpty( MaxHeap H ):判断最大堆H是否为空。
  • Insert( MaxHeap H, ElementType X ):将元素X插入最大堆H。
  • ElementType DeleteMax( MaxHeap H ):返回H中最大元素(高优先级)。
核心操作为恢复堆序性:在堆中执行了可能违反堆序性的简单修改后,需通过修改堆确保重新满足堆序性。有两种情况:
  • 自底向上reheapify(上滤,swim): 当某个节点的优先级增加时(或在堆的底部添加一个新节点)时,必须向上遍历调整堆以恢复堆序。
  • 自顶向下reheapify(下滤, sink):当节点优先级减少(变小)时(例如,如果用键较小的新节点替换根上的节点),必须向下遍历调整堆以恢复堆顺。
可以先实现这两个基本辅助操作,然后使用它们来实现插入和删除最大值。其操作如下图所示:
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插入-插入元素索引上移,父节点值下移;

删除-孩子节点值上移,末尾元素索引下移(降序插入排序,右边有序,直到找到一个小于它的元素);

2.2 最大堆C实现

2.2.1 基本操作

声明堆结构
#include <stdlib.h>
#include <stdIo.h>
typedef int ElementType;
typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */
struct HNode {
    ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */
    int Size;          /* 堆中当前元素个数 */
    int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
};
typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
#define MAXDATA 1000000  /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */
 
View Code
初始化堆
MaxHeap InitializeHeap( int MaxSize )
{   /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
 
    MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
    /* 多一个元素存放"哨兵" */
    H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType));  
    
    H->Size = 0;
    H->Capacity = MaxSize;
    H->Data[0] = MAXDATA;  /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
 
    return H;
}
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判是否满堆,以及是否为空

bool IsFull( MaxHeap H )
{
    return (H->Size == H->Capacity);
}

bool IsEmpty( MaxHeap H )
{
    return (H->Size == 0);
}
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2.2.2 最大堆的插入

将新增结点插入到,从其父结点到根结点的有序序列中 ( 完全二叉树,插入时间复杂度O(logN) )

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一步步往上调整(上滤)
void Insert( MaxHeap H, ElementType X )
{   /* 将元素X插入最大堆H,其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
    int i;
    /* 首先判断,堆是否已满。已满则结束 */
    if ( IsFull(H) ) { 
        printf("最大堆已满");
        return;
    }
      
    /* 若堆未满,i指向堆末尾的下一个位置(空穴,当前size+1),准备插入X */
    i = ++H->Size;  /* 类似插入排序,  */
    /* 若X 大于 其父节点值,则将父节点值下移至位置i, i位置(空穴)移到父节点位置[i/2] */
    for ( ; H->Data[i/2] < X; i /= 2 )
        H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */
    
    H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
    /* 若X是当前堆中最大元素,那么会在堆顶时(比哨兵小)终止上移 */
}
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2.2.3 最大堆的删除

删除位置-根结点,返回堆顶(最大值)元素,并调整堆使其保持堆序性(少了一个元素)。

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ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{   /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素,并删除一个结点 */
    int Parent, Child;   /* 指针 */
    ElementType MaxItem, X;    

    if ( IsEmpty(H) ) {
        printf("最大堆已为空"); /* 若堆已空,则结束(没得删) */
        return ERROR;
    }
 
    MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
    /* 用最大堆中最后一个元素X,从根结点开始,向上过滤下层结点 */
    X = H->Data[H->Size--]; /* 相当于删掉末尾元素位置,故当前堆size要减1*/
    
    /* 迭代地将X和其更大的孩子节点值作比较,并调整位置(从根节点开始,给X找个位置) */
    /* Parent*2 <= H->Size判断是否有左儿子(有无孩子),若无则超出堆空间,跳出循环,直接把X放Parent */
    for ( Parent = 1; Parent*2 <= H->Size; Parent = Child ) {
        /* 找到当前更大的孩子节点*/
        Child = Parent * 2;  /* 令Child为左儿子,经过外层for循环判断,Child只能 <= Parent */
        /* 若有右儿子((Child < H->Size)),则让让Child指向左右子结点的较大者 */
        if ( (Child != H->Size) && (H->Data[Child] < H->Data[Child+1]) )
            Child++; 
        /* 将末尾元素X和Child的值比较,若X >= Child值则结束(有序了)*/
        /* 若X < Child值 (Child更大),则将Child值放在位置Parent,并将Parent位置移到Child位置 */
        if ( X >= H->Data[Child] ) 
            break;   /* 找到了合适位置 */
        else  /* Child元素上移,X移动到下一层(Parent = Child),继续和其孩子节点比较 */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
 
    return MaxItem;
} 
View Code
自顶向下,找到更大的孩子节点(孩子不一定是2个,也可能只有1个),并和末尾元素比较
若孩子更小或等于则不动,若孩子更大则将孩子值上移。末尾元素索引下移-下滤

2.2.4 最大堆的建立

将已经存在的N个元素,按最大堆的要求存放在一个一维数组中
方法1:通过插入操作,将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去,其时间代价最大为O(N logN)。
方法2:在线性时间复杂度O(N)下,建立最大堆。
  • 将N个元素按输入顺序存入,先满足完全二叉树的结构特性
  • 调整各结点位置,以满足最大堆的有序特性
分析:该如何调整堆?
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在删除最大值操作中,末尾元素放置于堆顶,此时其左子树和右子树均为堆。其调整思路为,不断地找更大的孩子调上来,自己下沉(下滤操作)。
但是,如上图左子图所示,初始化的堆并不满足堆序性(对79而言,其左右均不是堆,其他节点也是这个情况),似乎不能直接使用删除最大值操作。
 
实际可以逆向思维,找到最小满足该情况的例子:
从倒数第一个有儿子的节点开始(末尾节点的父亲,此节点的左右肯定是堆-叶节点),逆序执行(自底向上,逆层序遍历)下滤操作。这样当目标节点的左子树和右子树都为堆时,就可以自然地复用删除最大值操作

 

void PercolateDown( MaxHeap H, int p )
{   /* 下滤:将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    ElementType X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for ( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2;
        if ( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if ( X >= H->Data[Child] )  break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
}
 
void BuildHeap( MaxHeap H )
{   /* 调整H->Data[]中的元素,使满足最大堆的有序性  */
    /* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
 
    int i;
 
    /* 从最后一个结点的父节点开始,到根结点1 */
    for ( i = H->Size/2; i > 0; i-- )
        PercolateDown( H, i );
}
View Code

分析

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倒数第2层最多交换1次, 其余节点的交换次数此时按其深度线性递增(节点数按2的对数下降)
 
基于下滤操作的删除最大值实现:
ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{   /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素,并删除一个结点 */

    ElementType MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
  
    H->Data[1] = H->Data[H->Size--]   /* 取出根结点存放的最大值 */
  
    PercolateDown(H, 1);  /* 从根结点开始,向上过滤下层结点(末尾节点下滤) */
    return MaxItem;
} 
View Code
可知,删除最大值中的调整操作是BuildHeap的特例。此外,还有删除堆中某个元素、增大某个元素的优先级和减小某个元素的优先级的操作。高效执行此操作的前提 ,是用哈希表简历key到index的映射。

2.3 最大堆Python实现

逻辑参照上述C语言版

class Heap:
    def __init__(self, n):
        self.capacity = n
        self.size = 0
        self.arr = [None] * (self.capacity+1)
        self.arr[0] = 2e24

    def insert(self, num): 
        if self.size == self.capacity:
            print("Out of size")
        else:
            self.size += 1
            child = self.size  # 空穴位置
            # 上滤, 当左儿子在堆范围内
            while num > self.arr[child // 2]:
                parent = child // 2
                self.arr[child] = self.arr[parent]
                child = parent

            self.arr[child] = num

    def pop(self): 
        if self.size == 0:
            print("Empty")
        else:
            max_item = self.arr[1] # 取堆顶
            x = self.arr[self.size] # 取堆末尾元素
            self.size -= 1

            parent = 1
            # 下滤, 当左儿子在堆范围内
            while parent * 2  <= self.size:
                child = parent * 2 
                if child != self.size and self.arr[child+1] > self.arr[child]:
                    child += 1
                if self.arr[child] > x:
                    self.arr[parent] = self.arr[child] # 孩子节点值上移
                    parent = child
                else:
                    break
            self.arr[parent] = x
            return max_item
View Code

调用python包

import queue
, random

class Heap():
    def __init__(self, k):
        if k > 0:
            self.q = queue.PriorityQueue(k)

    def queue(self):
        return self.q.queue
        
    def enque(self, key):
        # 当前堆大小小于其容量 
        if self.q._qsize() < self.q.maxsize:
            self.q.put(key)
        else:
            self.q.get() # 删除堆顶 
            self.q.put(key)

    def deque(self):
        if not self.q.empty():
            return self.q.get()
        else:
            print("Empty heap")


h1 = Heap(10)
for i in range(15):
    h1.enque(i)


print(h1.queue())  # 最小堆,k  可得到堆排序得到最大的k个 

l1 = [ random.randint(1, 100) for i in range(20)]
print(l1)

for i in l1:
    h1.enque(i)
    
print(h1.queue())
print("\nPriority Queue:")
print([h1.deque() for i in range(h1.q._qsize())])
View Code

三、堆的应用

经典的应用有选择问题、堆排序和Huffman编码等等。

3.1. 选择问题

问题描述:输入N个数,找到第k个最大的数。如果K=N/2,就是找中位数, 这是选择问题的最困难的情况。
暴力法:直接排序,并返回排序数组的倒数第K个数,O(NlogN),
使用堆:
算法A: 大优先队列
  • 将N个元素读入数组,并构建最大堆O(N)
  • 然后执行K次删除最大元素O(KlogN)
最后一次删除的元素就是第K个最大值,总时间复杂度:O(N + KlogN)。
  • 如果k小时,运行时间取决于建堆O(N)。
  • 如果k大时,运行时间取决于删除O(KlogN)。例如K=N,即O(NlogN),直接堆排序
  • 如果K=N/2,平均时间复杂度(NlogN)

算法B: 小优先队列(流式处理)
  • 将K个元素读入数组,并构建最小堆O(K)
  • 依次删除最小堆的最小元素,再将元素插入最小堆(把待插入元素放在堆顶,然后下滤)O((N-K)logK)
因此,O(K + (N-K)logK) = O(K(1-logK) + NlogK) = O(NlogK)

3.2 堆排序

  • 将N个元素读入数组,并构建最大堆O(N) Heap的原理和实现
  • 然后,执行N-1次删除最大元素O(NlogN),返回的元素构成的数组有序
每次删除元素可以放在当前堆尾。慢于希尔排序。
  1. 实际实现时,先自底向上调用N/2 + 1次下滤操作PercolateDown,线性建堆。
  2. 然后,每次把堆顶元素和堆末尾元素交换,将堆size减1,并从根节点执行下滤操作PercolateDown。共计N-1次(最后一个元素已经在堆顶,不需要操作)
堆排序不完全同于二叉堆的删除,其数组元素初始位置在0,所以下滤开始位置为0而不是1,下滤范围从N-1到1(实际堆的大小)。
Python调包版
def sortArray(nums: List[int]) -> List[int]:
    import heapq
    heapq.heapify(nums)
    return [heapq.heappop(nums) for i in range(len(nums))] 
View Code

Python实现

class Solution:
    def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        def heapify(nums, parent, arr_size): 
            # parent为开始下滤节点索引,p为当前堆大小(决定调整边界)
            x = nums[parent]
            # 下滤, 当左儿子在堆范围内
            while parent * 2 + 1 < arr_size:
                child = parent * 2 + 1
                if child != arr_size-1 and nums[child+1] > nums[child]:
                    child += 1
                if nums[child] > x:
                    nums[parent] = nums[child]
                    parent = child
                else:
                    break
            nums[parent] = x
            
        # 构建堆
        n = len(nums)
        for i in range(n//2, -1, -1):
            heapify(nums, i, n)  # 建堆时堆大小固定为其容量
        # 迭代删除堆顶元素
        for i in range(n-1, 0, -1):
            # 将堆顶元素取出(直接在末尾存储),把末尾元素放堆顶
            nums[i], nums[0] = nums[0], nums[i]
            heapify(nums, 0, i) # 然后下滤
        return nums                
View Code

C实现

void PercolateDown( ElementType A[], int p, int N )
{
   /* 将N个元素的数组中以A[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    ElementType X = A[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for ( Parent=p; (Parent*2+1) < N; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2 + 1;
        if ( (Child != N-1) && (A[Child] < A[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if ( X >= A[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            A[Parent] = A[Child];
    }
    A[Parent] = X;
}

void HeapSort( ElementType A[], int N ) 
{ 
     int i;       
     /* 建立最大堆 */
     for ( i = N/2-1; i >= 0; i-- )
         PercolateDown( A, i, N );
      
     for ( i=N-1; i>0; i-- ) {
         /* 删除最大堆顶 */
         Swap( &A[0], &A[i] ); 
         PercolateDown( A, 0, i );
     }
}
View Code
 
参考资料:算法第四版,浙江大学-数据结构慕课
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标签: python