DEA各种模型原理及stata代码实现

一、CCR和BCC

1.原理

CCR模型产出导向下的效率通过求解以下规划得出
$CCR\_TE=max\theta$

$s.t.{\sum }_{k=1}^K{z}_k{y}_{km}\ge y_{km}{\theta }_m,m=1,...,M$

${\sum }_{k=1}^K{z}_k{x}_{kn}\le x_{kn},,n=1,...,N$

$z_k\ge 0$

其中$({\sum }_{k=1}^K{z}_k{y}_{km},{\sum }_{k=1}^K{z}_k{x}_{kn})$可以理解为前沿面$(x_{km},y_{km})$为每个决策单元dmu的值。

BCC模型在上述规划的约束条件中加入${\sum }_{k=1}^K{z}_k=1$.

2.效率测算stata代码

代码格式如下

CCR模型对应规模报酬不变crs

dea inputvars = outputvars ,rts(crs) 

BCC模型对应规模报酬可变vrs

dea inputvars = outputvars ,rts(vrs) 

3.Malmquist指数

3.1M指数

Malmquist指数是效率的变化率简单地想如果以t期为基期那么公式为
$Malmquis{t}_t=\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^t(x^t,y^t)}$
其中,$D^t(x^{t+1},y^{t+1})$某一个决策单元在t+1期的生产情况基于t期的前沿面计算的效率决策单元在t+1期的生产情况可能超出t期的前沿面因此可能无解

$D^t(x^t,y^t)$某一个决策单元在t期的生产情况基于t期的前沿面计算的效率也就是正常来说的$T{E}_t$

同样的如果以t+1期为基期那么公式为
$Malmquis{t}_{t+1}=\frac{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^t,y^t)}$
基期不同值不同为了解决这个问题定义

$Malmquis{t}_{t+1,t}=(Malmquis{t}_t\times Malmquis{t}_{t+1}{)}^{0.5}=M(x^{t+1},y^{t+1},x^t,y^t)$

$=[\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^t(x^t,y^t)}\times \frac{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^t,y^t)}{]}^{0.5}$

$=\frac{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D^t(x^t,y^t)}\times [\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}\frac{D^t(x^t,y^t)}{D^{t+1}(x^t,y^t)}{]}^{0.5}$

$=TECH\times TECCH$ ------- Fare分解

其中TECH表示效率变化TECCH表示技术进步.

在规模报酬不变时Fare分解完全正确但是在规模报酬可变时须考虑规模报酬的变化

$TFPCH=M(x^{t+1},y^{t+1},x^t,y^t)$

$=\frac{D_v^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D_v^t(x^t,y^t)}\times [\frac{D_c^t(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}\frac{D^t(x^t,y^t)}{D^{t+1}(x^t,y^t)}{]}^{0.5}\times \frac{D_c^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})/D_v^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D_c^t(x^t,y^t)/D_v^{t+1}(x^t,y^t)}$

$=TECH\times TECCH\times SECH$ -----------RD分解

其中$D_c$表示按规模报酬不变计算效率$D_v$表示按规模报酬可变计算效率SECH表示规模变化。

3.2Global-Malmquist指数

Malmquist指数可能无解

因此有Global Malaquist指数思想很简单计算一个全局效率以他为基准公式为

$GM=M_c^G(x^t,y^t,x^{t+1},y^{t+1})=\frac{D_c^G(x^{t+1},y^{t+1})}{D_c^G(x^t,y^t)}$

其中$D^G$表示基于全局前沿面的效率。$D^t$的计算方式是仅保留第t期的数据来计算效率而$D^G$是将所有数据都保留来计算效率不会无解。

$M_c^G(x^t,y^t,x^{t+1},y^{t+1})$

$=\frac{D_c^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}{D_c^t(x^t,y^t)}\times \frac{D_c^G(x^{t+1},y^{t+1})}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1})}\frac{D_c^t(x^t,y^t)}{D^G(x^t,y^t)}$

$=TECH\times BPC$

其中TECH 是通常的效率变化指标BPG 是最佳实践差距,表明t+1期的基准技术相较于t期是接近还是远离了全局的基准⽣产技 术。当然也可以采用RD分解分解规模变化。

4.指数计算代码与案例

malmq2 inputvars = outputvars  ,
选项global 计算Golbal-Malmquist指数 
​            saving()   保存

案例数据展示其中投入为l和k期望产出为g,非期望产出为w,s,f

year	city	w	s	f	l	g	k
2018	上海市	29144	9100	16163	1375.66	31521.2	7.60E+07
2018	南京市	15534	12375	35914	462.6	11752.8	7.00E+07
2018	无锡市	20622	40242	52929	388.2	11897	5.10E+07

先设置面板xtset

然后计算malmquist指数(l k为投入g为产出)fare分解

RD分解

GM指数计算

二、SBM模型

1.原理

带有非期望产出的SBM模型:
$ph{i}^{\ast }=min\frac{1-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(\frac{S_{io}^{-}}{X_{io}})}{1+\frac{1}{s_1+s_2}({\sum }_{r_1=1}^{s_1}\frac{S_{r_{1o}}^g}{y_{r_{1o}}^g}+{\sum }_{r_2=1}^{s_2}\frac{S_{r_{2o}}^b}{y_{r_{2o}}^b})}$
$s.t{X}_o=X\lambda +S_o^{-}(1)$
$y_o^g=Y^g\lambda -S_o^g(2)$
$y_o^b=Y^b\lambda +S_o^b(3)$
$S_o^{-},S_o^g,S_o^b,\lambda >0(4)$
其中$(X_o,y_o^g,y_o^b)$分别表示每个决策单元的值,$(X\lambda ,y^g\lambda ,y^b\lambda )$表示前沿面。
$S_o^{-},S_o^g,S_o^b$表示松弛值即投入或产出与前沿面的距离也即投入比理想投入多的部分、期望产出比理想期望产出少的部分、非期望产出比理想非期望产出多的部分。${\varphi }^{\ast }$即得出的效率。

2.stata代码实现

无非期望产出

sbmeff inputvars = desirable_outputvars , dmu(varname) 

有非期望产出

sbmeff inputvars = desirable_outputvars : undesirable_outputvars  , dmu(varname) 

TE表示效率

指数计算

** sbm_t
sbmeff l k = g:w s f,dmu(cit) time(year) sav(sbm_t,replace)
** sbm_g 全局前沿
sbmeff l k = g:w s f,dmu(cit)  sav(sbm_g,replace)
merge m:m cit  using sbm_g
rename TE TE_G
drop _merge
merge 1:1 cit year using sbm_t
drop _merge
xtset dmu year
tostring year, generate(time1)
gen lyear = l.year
tostring lyear, generate(time2)
gen time = time1 + "~" +time2
gen TFPCH = TE_G / l.TE_G
gen TECH = TE/l.TE
gen BPC = TFPCH / TECH
keep if TFPCH != .
list city time TFPCH TECH BPC

三、方向性距离函数DDF

1.原理

$\overrightarrow{D}(x,y,b;g)=max\beta$

$s.t.{\sum }_{n=1}^N{z}_n{x}_{mn}\le x_m-\beta g_{xm},m=1,2...,M$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{y}_{sn}\ge y_s+\beta g_{ys},s=1,2...,S$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{b}_{jn}=b_j-\beta g_{bj},j=1,2...,J$

$z_n\ge 0,\beta >0,n=1,2...,N$

其中,$g$为投⼊和产出的缩放的⽅向向量$\beta$为无效率值。

2.stata代码实现

ddfeff l k = g:w s f,dmu(cit) time(year) sav(ddf,)
merge 1:1 cit year using ddf
gen TE = 1-Dval
list year city  Dval TE

3.非径向DDF模型NDDF

$\overrightarrow{ND}(x,y,b;g)=max(w_m^x{\beta }_s^y+w_s^t{\beta }_s^y+w_j^b{\beta }_j^b)$

$s.t.{\sum }_{n=1}^N{z}_n{x}_{mn}\le x_m-{\beta }_m^s{g}_{xm},m=1,2...,M$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{y}_{sn}\ge y_s+{\beta }_s^y{g}_{ys},s=1,2...,S$

${\sum }_{n=1}^N{z}_n{b}_{jn}=b_j-{\beta }_j^b{g}_{bj},j=1,2...,J$

$z_n\ge 0,\beta >0,n=1,2...,N$

NDDF模型对比DDF只是让投入产出的无效率系数变为不同。

NDDF模型代码实现

由于结果给出了所有方向的$\beta$,也可以按照自己的方法计算TE自己定义的公式.比如

$TE=\frac{1-0.2(B\_l+B\_k+B\_w+B\_s+B\_f)}{1+B_g}$

其内涵为每种因素的平均效率。

3.GML指数

计算完效率之后可以计算效率的变化率Global-Malmquist-Luenberger指数。

由于已被证明

$\overrightarrow{D}(x,y,b;g)=\frac{1}{1+D(x,y,b)}$

因此有Malmquist-Luenberger指数

$ML=\frac{D^t(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1};g^{t+1})\times D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1};g^{t+1})}{D^t(x^t,y^t,b^t;g^t)\times D^{t+1}(x^t,y^t,b^t;g^t)}$

$=[\frac{1+\overrightarrow{D^t}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^t}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}\times \frac{1+\overrightarrow{D^{t+1}}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^{t+1}}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}{]}^{0.5}$

和GML指数

$GML=\frac{D^G(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}{D^G(x^t,y^t,b^t)}=\frac{1+\overrightarrow{D^G}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^G}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}$

$=\frac{1+\overrightarrow{D^t}(x^t,y^t,b^t)}{1+\overrightarrow{D^{+}1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}\times \frac{(1+\overrightarrow{D^G}(x^t,y^t,b^t))/(1+\overrightarrow{D^t}(x^t,y^t,b^t))}{(1+\overrightarrow{D^G}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1}))/(1+\overrightarrow{D^{+}1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1}))}$

$=TECH\times BPC$

4.指数测算

ML指数

存在大量缺失值使用gml指数

四、总结

上述包含了 dea、malmq2、ddfeff等命令可能需要高版本statastata16最好。如果缺少了命令可通过 ssc install XX XX为命令名称下载网络不好可能下载失败。也可使用其他人下载好的命令推荐 连玉君老师的plus文件。
文中相关数据和资源
链接https://pan.baidu.com/s/15wMpDovYiqG-LI74Z_NhPQ
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