代码随想录算法训练营第四十三天丨 动态规划part06-CSDN博客

518.零钱兑换II

思路

这是一道典型的背包问题一看到钱币数量不限就知道这是一个完全背包。

对完全背包还不了解的同学可以看这篇动态规划关于完全背包你该了解这些(opens new window)

但本题和纯完全背包不一样纯完全背包是凑成背包最大价值是多少而本题是要求凑成总金额的物品组合个数

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数为什么强调是组合数呢

例如示例一

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合都是 2 2 1。

如果问的是排列数那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

那我为什么要介绍这些呢因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!

回归本题动规五步曲来分析如下

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

• 确定递推公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]考虑coins[i]的情况相加。

所以递推公式dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式大家应该不陌生了卡哥在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和 (opens new window)中就讲解了求装满背包有几种方法公式都是dp[j] += dp[j - nums[i]];

• dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话后面所有推导出来的值都是0了。

那么 dp[0] = 1 有没有含义其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0好像都没有毛病。

但题目描述中也没明确说 amount = 0 的情况结果应该是多少。

这里我认为题目描述还是要说明一下因为后台测试数据是默认amount = 0 的情况组合数为1的。

下标非0的dp[j]初始化为0这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

dp[0]=1还说明了一种情况如果正好选了coins[i]后也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。

• 确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品钱币内层for遍历背包金钱总额还是外层for遍历背包金钱总额内层for循环遍历物品钱币呢

我在动态规划关于完全背包你该了解这些 (opens new window)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。

但本题就不行了

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少和凑成总和的元素有没有顺序没关系即有顺序也行没有顺序也行

而本题要求凑成总和的组合数元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数且每个方案个数是为组合数。

那么本题两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品钱币内层for遍历背包金钱总额的情况。

代码如下

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设coins[0] = 1coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算然后再把5加入计算得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数

如果把两个for交换顺序代码如下

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值都是经过 1 和 5 的计算包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数

可能这里很多同学还不是很理解建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来对比看一看实践出真知

• 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] dp状态图如下

最后红色框dp[amount]为最终结果。

代码如下

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0]=1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j < dp.length; j++) {
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
    return dp[amount];
    }
}

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377. 组合总和 Ⅳ

思路

本题题目描述说是求组合但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合其实就是求排列

弄清什么是组合什么是排列很重要。

组合不强调顺序(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

在公众号里学习回溯算法专题的时候一定做过这两道题目回溯算法39.组合总和 (opens new window)和回溯算法40.组合总和II (opens new window)会感觉这两题和本题很像

但其本质是本题求的是排列总和而且仅仅是求排列总和的个数并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话只能使用回溯算法爆搜。

动规五部曲分析如下

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

• 确定递推公式

dp[i]考虑nums[j]可以由 dp[i - nums[j]]不考虑nums[j] 推导出来。

因为只要得到nums[j]排列个数dp[i - nums[j]]就是dp[i]的一部分。

在动态规划494.目标和 (opens new window)和 动态规划518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经讲过了求装满背包有几种方法递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

• dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故dp[0]要初始化为1这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢

其实没有意义所以也不去强行解释它的意义了因为题目中也说了给定目标值是正整数 所以dp[0] = 1是没有意义的仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢

初始化为0这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

• 确定遍历顺序

个数可以不限使用说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

在动态规划518.零钱兑换II (opens new window)中就已经讲过了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums物品放在外循环遍历target的作为内循环的话举一个例子计算dp[4]的时候结果集只有 {1,3} 这样的集合不会有{3,1}这样的集合因为nums遍历放在外层3只能出现在1后面

所以本题遍历顺序最终遍历顺序target背包放在外循环将nums物品放在内循环内循环从前到后遍历。

• 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下

如果代码运行处的结果不是想要的结果就把dp[i]都打出来看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕代码如下

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (i >= nums[j]) {//如果当前背包的容量大于该物品所需要的容量就进行累加
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

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完全背包感觉还不错在逻辑上完全能够进行理解、只是在细节上需要注意~~~