[概率论与数理统计]笔记：4.2 统计量
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4.2 统计量
统计量的定义
样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。
常用的统计量
样本均值
即样本的算术平均值：
\[\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1,X_2,\cdots,X_n)
\]
样本方差
-
未修正样本方差
\[S_0^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \] -
修正样本方差
\[S^2=\frac{n}{n-1}S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \]修正样本方差具有更好的统计性质而更常用。
修正样本方差简称样本方差。
样本标准差
即样本方差的算术平方根：
\[S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}
\]
样本原点矩
样本的\(k\)阶原点矩：
\[A_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k,\quad\quad k\ge 1
\]
一阶原点矩就是样本均值。
样本中心矩
样本的\(k\)阶中心矩：
\[B_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k,\quad\quad k\ge 2
\]
二阶中心矩就是未修正样本方差。
样本均值，样本方差，样本标准差，样本原点矩，样本中心矩可统称为样本的矩统计量，简称为样本矩。
它们都可以表示为样本的显式函数。
顺序统计量则不能表示为显式函数。
顺序统计量
将样本中的分量按由小到大的顺序排列：
\[X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)}
\]
将\((X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)})\)称为样本的一组顺序统计量。
- \(X_{(1)}=\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
- \(X_{(n)}=\max(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
- 极差：\(X_{(n)}-X_{(1)}\)
枢轴量
统计量不包含未知参数，而对于仅含一个未知参数，分布已知的样本函数，称为枢轴量。
使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社