闭区间连续函数的性质+习题课（函数与极限总复习）——“高等数学”

各位CSDN的uu们你们好呀今天我们的内容依然是关于连续函数的概念和性质及相关内容之前的博客我们学习到了函数的连续性和函数的间断点那今天我们便来看看闭区间上连续函数的性质好的接下来就让我们进入高等数学的世界吧

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一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

三、函数与极限习题课

    一理解极限的定义

    二掌握数列极限、函数极限的性质

    三求极限的若干方法

              1.有理函数的极限

              2.有界函数*无穷小=无穷小

              3.利用左、右极限相等

              4.极限存在的准则

              5.利用两个重要极限

              6.利用等价无穷小代换重要方法

              7.利用初等变形

              8.利用数列极限与函数极限的关系

    四无穷小阶数的比较

    五间断点与连续性

    六闭区间上连续函数的性质

    七例题

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一、有界性与最大值最小值定理

 

这个定理我们就不证明了因为证明此定理需要用到非常复杂的实数理论

 

 

对于这两个函数在其定义域内都是既没有最大值也没有最小值 

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二、零点定理与介值定理 

其实这个零点定理我们在高中应该就已经学过了我们来复习一下究竟什么是零点呢

可见零点并不是一个点而是一个数 

 同样这个定理我们也不证明了因为比较复杂但是从几何上是很好理解的

这是函数图像与x轴只有一个交点的情况

 这是函数图像与x轴有多个交点的情况

在此定理的基础上我们很容易推出我们接下来要介绍的一个定理那就是——介值定理

 

 

 

下面来证明一下这个介值定理 

然后我们又得出了一个推论

  

 下面让我们来看几个例题

 首先从结论出发构造函数

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 三、函数与极限习题课

 1.理解极限的定义

 

 

  2.掌握数列极限、函数极限的性质

  

 

 

 3.求极限的若干方法 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 这个注意事项里面为什么要把它划为一个问号呢因为在有的时候它是成立的而有的时候它又是不成立的。

 

 

 

 

 

 4.无穷小阶数的比较

 

 

 5.间断点与连续性 

 

 

 

 

 6.闭区间上连续函数的性质

 

 

 

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例题

所以第一个论断不正确 

第二个论断也是不正确的只能说明局部有界

 所以第三个论断也是不对的

所以第四个论断也是不正确的

故此题目正确答案选D

 

 

 

 

                                                                      连加式

 

 

 

 

 

 我们可以把这个结论推广一下 

 考察单调有界原理的知识点

 

 

 

 因为这是一个正数列 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 有人可能会想不是必须要求这三个极限存在才可以拆开吗那不知道极限到底存不存在就把它拆开这样做对吗那么这就是我们提及的后验问题啦先拆开后再看极限是否存在如果不存在就返回反式再来考虑别的方法如果存在就最好不过了继续往下做。这是一种常识。 

 考察无穷小比阶 

 采用倒代换 

 

 采用的是分子有理化的方法

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            此函数没有水平渐近线 

 

 

 好啦我们的函数与极限的总复习就到这里结束啦

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今天的内容有点小多噢小雅兰花了好长的时间来学习希望各位开学考的uu们跟随小雅兰的脚步一起学习高等数学小雅兰的学校呢开学开得非常之早是为2月4号我感觉全国的大学都没有我的学校开学开得早至少在我所知道的还没有哪个学校有我们这么早开学呜呜呜学不活了虽然小雅兰知道自己已经学不完了但还是一天一天坚持学习高等数学噢除了高等数学之外还有英语啊计算机基础啊考那些稀奇古怪的ppt word excel真是头疼得很 C语言啊 还有各种水课什么思想道德与法治、大学心理健康教育......) 服辽服辽