基础算法--背包问题（01背包问题、完全背包问题、多重背包问题、分组背包问题）

前言

背包问题给我们 i 件物品每件物品都有体积 vi 和权重 wi 给我们限制条件让我们选择在背包的容量内物品达到权重最大

01背包问题

01背包问题描述每件物品只可以使用一次

我们看一下题目长什么样

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N][N];//f(i, j)表示体积j的情况下前i件物品的最大价值

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >>m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //第 i个物品先不选
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            //第 i个物品选首先要满足第 i个物品能放进来能装第i个物品需要决策是否装第i个物品
			if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

到这里我们上面实现的是二维状态方程我们如何进行优化呢题目中只要我们计算 f[n][m]而其他的没有要求我们进行计算

注意这里的 j 必须从大到小来枚举若j从小到大f[j-v[i]]中由于j-v[i]小于jf[j-v[i]]已经在i这层循环被计算了而我们想要的f[j-v[i]]应该是i-1层循环里面的所以j从大到小的话保证此时的f[j-v[i]]还未被计算也就是第i-1层的数据

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

完全背包问题

完全背包问题每个物品可以无限次使用

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

显然上面有三层循环效率很慢很慢数据有可能过不了我们来看看有什么可以优化的地方

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j - v[i] >= 0) f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

将上述代码更上一层口使用一维状态方程

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = v[i]; j <= m; j++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
        
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

多重背包问题

多重背包问题会在完全背包问题上加一个限制每个背包不是无限次使用而是有个数限制

例题

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

分组背包问题

分组背包问题把所有物品分到各个组里面每个组里面只可以选一件物品

例题

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j++)
        {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];//不选第i个物品
            for(int k = 0; k <= s[i]; k++)
            {
                if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);//选第i个物品
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

我们将它优化成一维状态方程

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j++)
        {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = m; j >= 1; j--)
        {
            for(int k = 0; k <= s[i]; k++)
            {
                if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}