算法学习笔记(8.1): 网络最大流算法 EK, Dinic, ISAP

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最大流，值得是在不超过管道（边）容量的情况下从源点到汇点最多能到达的流量

抽象一点：使 \(\sum_{(S, v) \in E} f(S, v)\) 最大的流函数被称为网络的最大流，此时的流量被称为网络的最大流量

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有了最大流量，就可以通过奇奇怪怪的建模解决很多令人摸不着头脑的题

例如二分图：

对于一张二分图，经过建模之后我们可以这样画

其中左部点集 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\)，右部点集 \(B = \{5, 6, 7, 8\}\), 其中源点为 \(0\)，汇点为 \(9\)

建模过程：

新增一个源点 \(S\) 和一个汇点 \(T\), 从 \(S\) 到每一个左部点连有向边，从每一个右部点到 \(T\) 连有向边，把原二分图的每条边看作从左部点到右部点的有向边，形成了一张 \(n + 2\) 个点 \(n + m\) 条边的网络。其中每一条边的容量都为 \(1\)。

不难发现，二分图的最大匹配数就等于网络的最大流量。求出最大流后，所有有有”流“经过的点，边就是匹配点，匹配边。

进一步的：如果要求二分图多重匹配，依据题目信息改变连接汇点和源点的边的容量即可

计算最大流的算法很多，这里主要讲解 \(EK (Edmonds-Karp)\) ，\(Dinic\) 和 \(ISAP\) 算法。

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EK 增广路算法

这里的增广路与二分图里面的增广路有不一样了 Q^Q

增广路：若一条源点 \(S\) 到 \(T\) 的路径上各边的剩余容量都严格大于 \(0\)，则称这条路径为增广路。显然，可以让一个流沿着增广路流过，使得网络的流量增大。

而\(EK\)的思路就是不断进行广度优先搜索寻找增广路，直到不存在增广路为止。

而在搜索的时候，我们只考虑图中所有 \(f(x, y) < c(x,y)\) 的边（或者说是有剩余容量的边）。在寻找路径的同时，还要记录其前驱结点以及路径上的最小容量\(minf\), 在找到一条增广路后，则网络的流量可以增加 \(minf\)。

但是，考虑到斜对称的性质，由于我们需要把增广路上的所有边的剩余容量 \(e(u, v)\) 减去\(minf\)，所以要在对其反边容量 \(e(v, u)\) 加上 \(minf\)。

初始化的时候，如果是有向边 \((u, v)\)，则 \(e(u, v) = c(u, v), e(v, u) = 0\)，如果是无向边，则 \(e(u, v) = e(v, u) = c(u, v)\)。

?: 为什么会出现无向边，网络流不是有向图吗？

考虑双向道路马路，既可以顺流，又可以逆着。

例如：[ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子 - 洛谷

这道题需要用到最小割，顺便说一下，最小割 = 最大流

?: 为什么使用BFS，而不是DFS？

因为DFS可能会绕圈圈……在讲述DInic的时候我会再提及

复杂度：复杂度上界为 \(O(nm^2)\)，然而实际上远远达不到这个上界，效率还行，可以处理 \(10^3 \sim 10^4\) 规模的网络

--《算法竞赛进阶指南》

我不会证明，下面的两个算法也不会 Q^Q

这里给出一种参考代码

【模板】网络最大流 - 洛谷

提交记录：记录详情

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>

using std::deque;

const int N = 2e3 + 7, M = 5e5 + 7, INF = 0x7F7F7F7F;

int n, m, s, t;
int to[M], nex[M], wi[M] = {INF};
int head[N], tot = 1;

void add(int u, int v, int w) {
    to[++tot] = v, nex[tot] = head[u], wi[tot] = w, head[u] = tot;
}

void read() {
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);

    int u, v, w;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w);
        add(v, u, 0);
    }
}

#define min(x, y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define pop() que.pop_front()
#define top() que.front()
#define push(x) que.push_back(x);
#define empty() que.empty()

static int inq[N], it = 0;
static int px[N], pe[N];
inline int bfs() {
    deque<int> que;

    push(s); inq[s] = ++it;

    int x, y;
    while (!empty()) {
        x = top(); pop();
        for (int i = head[x]; i; i = nex[i]) {
            if ((inq[(y = to[i])] ^ it) && wi[i]) {
                px[y] = x, pe[y] = i;
                if (y == t) return 1;
                inq[y] = it; push(y);
            }
        }
    }
    return 0; // 到不到了，没有增广路了
}

void work(long long & res) {
    while (bfs()) {
        int val = INF;
        for (int x = t; x ^ s; x = px[x]) {
            val = min(val, wi[pe[x]]);
        }

        for (int x = t; x ^ s; x = px[x]) {
            wi[pe[x]] -= val;
            // 处理反边的时候利用了成对变换的方法！
            wi[pe[x] ^ 1] += val;
        }

        res += val;
    }
}

int main() {
    read();

    long long res = 0;
    work(res);
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}

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Dinic

考虑到 \(EK\) 算法每一次在残量网络上只找出来的一条增广路，太慢了，所以有了更优化的东西 Dinic？歌姬吧

先引入一点点概念：

深度：在搜索树上的深度（BFS搜索时的层数）

残量网络：网络中所有节点以及剩余容量大于 \(0\) 的边构成的子图

分层图：依据深度分层的一段段图……或者说在残量网络上，所有满足 \(dep[u] + 1 = dep[v]\) 的边 \((u, v)\) 构成的子图。

分层图显然是一张有向无环图

Dinic 算法不断重复下述过程，直到在残量网络中，\(S\) 不能到达 \(T\)

• 利用BFS求出分层图

• 在分层图上DFS寻找增广路，在回溯的时候实时更新剩余容量。另外，每个点可以同时流出到多个结点，每个点也可以接收多个点的流。

?: 这里为什么可以使用DFS

由于我们分了层，意味着DFS只会向更深的地方搜索，而不会在同一层乱跳，甚至搜索到前面。这也是为什么EK用BFS更优秀

复杂度：一般来说，时间复杂度为 \(O(n^2m)\)，可以说是不仅简单，而且容易实现的高翔算法之一，一般能够处理 \(10^4 \sim 10^5\) 规模的网络。特别的，用此算法求二分图的最大匹配时只需要 \(O(m\sqrt{n})\), 实际上表现会更好。

题目不变

没有当前弧优化：提交详情

有当前弧优化：记录详情

// 重复内容已省略

int dis[N], vis[N], vt = 0;
int now[N]; // 用于当前弧优化
// return true if exists non-0 road to t
bool bfs() {
    memset(dis, 0, sizeof(dis)); dis[s] = 1;

    deque<int> que;
    que.push_back(s);
    while (que.size()) {
        int x = que.front(); que.pop_front();
        now[x] = head[x]; // 更新当前弧
        for (int y, i = head[x]; i; i = nex[i]) {
            if (!dis[y = to[i]] && wi[i]) {
                dis[y] = dis[x] + 1;
                que.push_back(y);
                if (y == t) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))

long long dinic(int x, long long maxflow) {
    if (x == t) return maxflow;
    long long rest = maxflow, k;
    for (int y, i = now[x]; i && rest; i = nex[i]) {
        now[x] = i; // 更新当前弧
        if (dis[y = to[i]] == dis[x] + 1 && wi[i]) {
            k = dinic(y, min(rest, wi[i]));
            if (!k) dis[y] = 0;
            wi[i] -= k, wi[i ^ 1] += k;
            rest -= k;
        }
    }
    return maxflow - rest;
}

int main() {
    read();
    long long maxflow = 0, flow;
    while (bfs()) {
        while (flow = dinic(s, INF)) maxflow += flow;
    } 
    printf("%lld\n", maxflow);
}

?: 当前弧优化是个啥玩意

注意到如果我们每一次遍历后，对于当前边 \((u, v)\)，不可能再有流量流过这条边，所以我们可以暂时的删除这条边……注意，只是暂时，每一分层的时候是需要考虑这条边的，因为这条边的剩余流量不一定为 0

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ISAP

某位大佬的博客上说这是究极最大流算法之一。还有一个HLPP（最高标记预留推进），思路完全与这几个方法不同，不依赖于增广路，我会把它放在另外的文章中单独讲。我可不会告诉你们是我不会优化，太笨了，看不懂大佬的优化

题目链接：【模板】最大流 加强版 / 预流推进 - 洛谷

这是我的：记录详情 4.77s

这是大佬的：记录详情 185ms

由于Dinic需要多次BFS……所以有些不满足的数学家决定优化常数……于是有了ISAP，只需要一次BFS的东西……

可恶，竟然没有找到不用gap优化的写法 T^T

ISAP算法从某种程度上是SAP算法和Dinic的融合

SAP算法就是所谓的EK算法……ISAP也就是Improved SAP……但是主体怎么跟DInic几乎一模一样！

算法流程如下：

1. 从 \(T\) 开始进行BFS，直到 \(S\) ，标记深度，同时记录当前深度有多少个

2. 利用DFS不断寻找增广路，思路与Dinic类似

3. 每次回溯结束后，将所在节点深度加一（远离 \(T\) 一点），同时更新深度记录。如果出现了断层（有一个深度没有点了）那么结束寻找。

怎么跟Dinic一摸一样啊，关键是也可以用当前弧优化，只是我用写的是vetor存图……用不了

参考代码……

提交题目还是【模板】网络最大流 - 洛谷

记录详情

!! 竟然在最优解第二页 O-O

// 写这个的时候，借鉴了写HLPP最优解的大佬写快读的方法……
template<typename T>
inline void read(T &x) {
    char c, f(0); x = 0;
    do if ((c = getchar()) == '-') f = true; while (isspace(c));
    do x = (x<<3) + (x<<1) + (c ^ 48), c = getchar(); while (isdigit(c));
    if (f) x = -x;
}
template <typename T, typename ...Args> inline void read(T &t, Args&... args) { read(t), read(args...); }

typedef long long Data;
using namespace std;

const int N = 207, M = 5007;

struct Edge {
    int to;
    size_t rev; // 反边的位置，用int也没问题
    Data flow;
    Edge(int to, size_t rev, Data f) : to(to), rev(rev), flow(f) {}
};

class ISAP {
public:
    int n, m, s, t;
    vector<int> dep;
    int q[N * 2], gap[N * 2];

    // vector< vector<Edge> > v;
    vector<Edge> v[N * 2];

    ISAP(int n, int m, int s, int t) : n(n), m(m), s(s), t(t) {
        input();
    } 

    inline void input() {
        // v.resize(n + 1);
        for (int x, y, f, i(0); i ^ m; ++i) {
            read(x, y, f);
            v[x].push_back(Edge(y, v[y].size(), f));
            v[y].push_back(Edge(x, v[x].size() - 1, 0));
        }
    }

    inline void init() {
        dep.assign(n + 1, -1);
        dep[t] = 0, gap[0] = 1;

        // 如果要用手写队列，要开大一点……避免玄学RE，虽然理论上N就够了
        register int qt(0), qf(0);
        q[qt++] = t;
        int x, y;
        while (qf ^ qt) {
            x = q[qf++];
            for (auto &e : v[x]) {
                if (dep[(y = e.to)] == -1) // if dep[y] != -1
                    ++gap[(dep[y] = dep[x] + 1)], q[qt++] = y;
            }
        } // bfs end
    }

    inline Data sap(int x, Data flow) {
        if (x == t) return flow;

        Data rest = flow;
        int y, f;
        for (auto &e : v[x]) {
            if (dep[(y = e.to)] + 1 == dep[x] && e.flow) {
                f = sap(y, min(e.flow, rest));
                if (f) {
                    e.flow -= f, v[e.to][e.rev].flow += f;
                    rest -= f;
                }
                if (!rest) return flow; // flow all used
            }
        }

        // change dep
        if (--gap[dep[x]] == 0) dep[s] = n + 1; // can not reach to t
        ++gap[++dep[x]]; // ++depth
        return flow - rest;
    }

    inline Data calc() {
        Data maxflow(0);
        static const Data INF(numeric_limits<Data>::max());
        // dep[s]最大为n，为一条链的时候
        while (dep[s] <= n) {
            // 如果要当前弧优化，在这里需要重置当前弧的now！
            maxflow += sap(s, INF);
        }
        return maxflow;
    }
};

int main() {
    int n, m, s, t;
    read(n, m, s, t);

    static ISAP isap(n, m, s, t);
    isap.init();
    printf("%lld\n", isap.calc());

    return 0;
}

作者有话说

一般来说，如果图非常稠密（边数远远大于点数），当前弧优化的力度就非常大了

如：Zoj3229 Shoot the Bullet|东方文花帖|【模板】有源汇上下界最大流 - 洛谷

写了当前弧优化的Dinic能轻松过……没写全TLE

虽然没写当前弧优化的ISAP能更快的过前三个点，但最后一个点过不了……QwQ

没试过写当前弧优化的ISAP

但是如果边数不多，当前弧优化可能就成了负优化了……所以需要根据题目数据合理使用