3.5 拉普拉斯定理

阿里云国内75折回扣微信号：monov8

阿里云国际，腾讯云国际，低至75折。AWS 93折免费开户实名账号代冲值优惠多多微信号：monov8 飞机：@monov6

文章目录

基本概念
拉普拉斯定理
Python实现
结语

基本概念

在学习拉普拉斯定理之前先介绍几个重要概念,第一个概念是k阶子式。k-阶子式是指挑选矩阵的k行k列按原来的顺序组成的子矩阵的行列式记号比较复杂我举个例子第 $1, 3, 5$ 行和第 $1, 2, 4$ 列组成的3-阶子式就记为
$A\begin{pmatrix}1,3,5\\1,2,4\end{pmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{51} & a_{52} & a_{54} \end{vmatrix}$
k-阶余子式就是取反操作删除对应行和对应列剩余的矩阵元素按照位置不变形成的子矩阵的行列式比如对于5-阶矩阵来说 $1, 3, 5$ 行和第 $1, 2, 4$ 列的余子式就是 $A\begin{pmatrix}2,4\\3,5\end{pmatrix}$ .
剩下一个概念就是代数余子式是余子式根据行索引和列索引加起来的奇偶性来判断奇数为负的余子式偶数为正的余子式。

拉普拉斯定理

拉普拉斯定理提供了一种计算 $n$ 阶行列式的办法。就是按k行或k列展开。它的算法第一步就是先求n的全部k种组合然后求这k行和所有k种列组合的子式与代数余子式的乘积把这些乘积加起来就是行列式。
公式描述比较麻烦我以五阶矩阵按第一和第二行展开为例子讲讲怎么计算。
首先求所有五阶矩阵取两列的所有的列组合得出以下10种
$(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\\ (2,3),(2,4),(2,5)\\ (3,4),(3,5)\\ (4,5)\\$
那么展开就是
$|A|=A\begin{pmatrix}1,2\\1,2\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\3,4,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\1,3\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\2,4,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\1,4\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\2,3,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\1,5\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\2,3,4\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\2,3\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,4,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\2,4\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,3,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\2,5\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,3,4\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\3,4\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,2,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\3,5\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,2,4\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\4,5\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,2,3\end{pmatrix}\\$
再具体以实际的矩阵展开还是以 $5\times 5$ 的矩阵为例子
$\begin{vmatrix}2 & 2 & 4 & 1 & -1\\ -1 & -2 & -3 & -4 & 4\\ -2 & 3 & 1 & 2 & -2\\ 3 & -4 & 3 & -2 & -4\\ 4 & -4 & 3 & -4 & -1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}2 & 2\\ -1 & -2\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}1 & 2 & -2\\ 3 & -2 & -4\\ 3 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & -3\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}3 & 2 & -2\\ -4 & -2 & -4\\ -4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 1\\ -1 & -4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}3 & 1 & -2\\ -4 & 3 & -4\\ -4 & 3 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}3 & 1 & 2\\ -4 & 3 & -2\\ -4 & 3 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 4\\ -2 & -3\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 2 & -2\\ 3 & -2 & -4\\ 4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 1\\ -2 & -4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}-2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & -4\\ 4 & 3 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & -1\\ -2 & 4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 1 & 2\\ 3 & 3 & -2\\ 4 & 3 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}4 & 1\\ -3 & -4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 3 & -2\\ 3 & -4 & -4\\ 4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}4 & -1\\ -3 & 4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}-2 & 3 & 2\\ 3 & -4 & -2\\ 4 & -4 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}1 & -1\\ -4 & 4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 3 & 1\\ 3 & -4 & 3\\ 4 & -4 & 3\\ \end{vmatrix}\\=58$
通过上面两个实际例子就更容易理解拉普拉斯定理了。

Python实现

对于线性代数里学到的东西我习惯性地用python实验一下以下是我的python代码

    def laplace(self, rows):
        k = len(rows)
        n = len(self.__vectors)
        import com.youngthing.mathalgorithm.combinatorics.binomial_combination_tree as bct
        indices = [i for i in range(n)]
        combinations = bct.combinations(indices, k)
        rows_sum = sum(rows)
        result = 0
        remain_rows = [x for x in indices if x not in rows]
        for combination in combinations:
            # 子式
            subdeterminant = self.subdeterminant(rows, combination)

            # 代数余子式的符号
            columns_sum = sum(combination)
            even = (rows_sum + columns_sum) & 1 == 0

            # 余子式
            remain_columns = [x for x in indices if x not in combination]
            minor = self.subdeterminant(remain_rows, remain_columns)
            if even:
                result += subdeterminant * minor
            else:
                result -= subdeterminant * minor
        return result

    def subdeterminant(self, rows, columns):
        array = [[self.__vectors[column][row] for row in rows] for column in columns]
        matrix = Matrix(array)
        return matrix.cofactor_expansion()