【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换
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文章目录
- 前言
- 往期文章
- 3.1 矩阵的初等变换
- 定义
- 等价具有的性质
- 矩阵类型
- 性质
- 性质1
- 性质2
- 定理1
- 推论
- 补充
- 结语
前言
Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！
3.1 矩阵的初等变换
定义
矩阵的初等行变换
- 对调两行（对调i，j两行，记作
2、行最简形矩阵
在行阶梯形矩阵定义的基础之上还要求：
- 非零行的第一个非零元为1
- 且这些非零元所处的列的其他元素为0.
任何矩阵
用m阶初等矩阵
观察结果，可以发现最终结果其实就是将A矩阵中第i、j行进行了对调
可以发现，矩阵
左乘时，相当于把矩阵A的第j行乘k加到第i行上
举个实际例子（左乘）：
单位矩阵第3行乘以k=2加到第2行上
同理，右乘时，相当于把矩阵A的第j列乘k加到第i列上
性质
从上面的讨论中，可以得出
性质1
设A是一个m*n矩阵
- 对A施加一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；
- 对A施加一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵
初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵都是同一类型的初等矩阵
注意
实例演示
设3阶单位阵E
很显然
- (E)E=E
- E(E)=E
所以单位阵的逆矩阵为其本身 即
假设对E的第二行乘以2
得到那么
有
假设对E的第3行乘以2 再加到第2行上
得到
那么
有
性质2
方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵
使得
证明：先证明充分性：
设
因为初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积依然可逆
所以A可逆
证必要性：
假设n阶方阵A可逆
A通过一系列变换转换为标准形矩阵F
那么F也可以通过一系列初等变换转换为A
所以
因为A可逆，
所以F也可逆
又因为
若r<n
那么｜F｜=0 说明F不可逆 与前提条件相反
所以r=n
即F=E（F为单位矩阵）
所以定理1
设A、B均为m×n矩阵，那么
【指对A进行初等行变换】的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得
【指对A进行初等列变换】的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得
的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得
推论
方阵A可逆的条件是
证明充分性：
因为
所以存在初等矩阵P，使得
因为E可逆、 P可逆
那么A一定可逆
证明必要性：
首先A通过初等行变换一定可以变为F A～F
若r<n 说明|F|=0
因为A可逆 所以F可逆
若|F|=0 则不可逆
所以|F|！=0
那么 r=n
即 F=E
故补充
定理1表明，如果
，即A经过一系列初等行变换可以变为B，则一定存在可逆矩阵P，使得
，那么如何求P呢？
假设已知A、B的情况下
首先依据题意可得
所以
推出
矩阵(A,E)通过初等行变换可以变为矩阵(B,P)
A、E、B已知，那么P就一目了然啦
注意：矩阵(A,E)的意思是矩阵A与矩阵E横行拼接
比如、
那么矩阵
当B=E时，此时求的P就是A的逆矩阵
（求逆矩阵的一个常用方法！）
结语
说明：
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
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