【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性

阿里云国内75折 回扣 微信号:monov8
阿里云国际,腾讯云国际,低至75折。AWS 93折 免费开户实名账号 代冲值 优惠多多 微信号:monov8 飞机:@monov6


文章目录

  • ​​前言​​
  • ​​往期文章​​
  • ​​4.2 向量组的线性相关性​​
  • ​​定义4​​
  • ​​线性相关/无关​​
  • ​​特殊情况​​
  • ​​定理4​​
  • ​​举例​​
  • ​​例4​​
  • ​​例5​​
  • ​​例6​​
  • ​​定理5​​
  • ​​结语​​

前言

Hello!小伙伴!
非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~
 
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称:海轰
标签:程序猿|C++选手|学生
简介:因C语言结识编程,随后转入计算机专业,有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验:扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语!
 
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然!


4.2 向量组的线性相关性

定义4

线性相关/无关

给定向量组:【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_26

且位于位于同一平面
所以三个向量共面

(4) 向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_27线性相关,也就是向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28中至少有一个向量能由其余【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_29个向量线性表示

证明:

假设向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性相关,则有不全为0的数【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_02使得【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_32

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_33不全为0,那么我们可以设【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_34,就有

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_35

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_36

说明【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_37可以由【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_38线性表示

(5) 向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_39构成矩阵【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_40,向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性相关,就是奇次线性方程组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_42【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_43有非零解

定理4

由向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_44线性相关的充分必要条件就是它所构成的矩阵【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_40的秩小于向量个数【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_46;向量组线性无关的充分必要条件是【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_47

线性相关:【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_48
线性无关:【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_49

举例

例4

试讨论【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50维单位坐标向量组的线性相关性

解答:

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_51【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50阶单位矩阵

单位矩阵:从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1,除此以外全都为0

显然

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_53

得到

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_54

由定理4可得,【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50维单位坐标向量组为线性无关

例5

已知

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_56

讨论向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_57及向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_12的线性相关性

解答:

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_59

可以得到

  • 【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_60,说明【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_61线性相关
  • 【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_62,说明【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_63线性无关

例6

已知向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_57线性无关,【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_65,试证明向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_66线性无关

证法一

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_67

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_68

推出

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_69

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_70

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_71

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_72

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_73

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_74

得到

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_75

又因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_76

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_77

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28中的列向量都是线性无关的,所以【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_79

说明方程【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_80只有一个解,就是零解

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_81

由因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_82 说明【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_83

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_84【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_85阶子式

  • 【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_86时,【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_87
  • 【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_88时,【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_89

说明方程【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_81只有一个解,就是零解

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_91

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_92

只有【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_93 全为0时,式子【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_94才成立,说明【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_66线性无关

证法二

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_69

记作

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_71

还可以写作

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_98

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_99 得到【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_100可逆

又因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_101均可逆

所以

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_102

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_102充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=B

所以

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_104

上一章定理2:若【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_102,则有【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_104

因为

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_107

所以

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_108

由定理4可知 【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_109线性无关

定理5

(1)若向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_110线性相关,则向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_111线性相关。反言之,若向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_109线性无关,则向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28也线性无关

证明:向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_110线性相关,则向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_111线性相关

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_116

很明显有

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_117

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性相关 得

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_48

所以

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_120

说明【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_109一定线性相关

证明:向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_122线性无关,则向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_84也线性无关

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_109线性无关 则有

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_125

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_126

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_127

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_128

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_129

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_130

综上 有

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_131

所以 【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性无关

(2)【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_46【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50维向量组成的向量组,当维数【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50小于向量个数【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_46时一定线性相关。特别地,【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_137【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50维向量一定线性相关

证明:

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_40

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_130

又因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_141【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_50维列向量 有

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_143

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_144

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_48

所以【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28一定是线性相关

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_147依然满足【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_148这个条件,所以【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_149【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_85维向量一定线性相关

(3)设向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习线性无关,而向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_152【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_153线性相关,则向量【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_153必定能由向量组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性表示,且表示式是惟一的

证明:

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_156

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_157

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性无关 、【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_109线性相关 所以

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_160

综上有

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_python_161

得到

【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_162

在方程组【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_线性代数_163

因为【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_Machine_164

说明该方程组有惟一解

即向量b可以由向量【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性_机器学习_28线性表示,且是惟一的

结语

说明:

  • 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
  • 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭



阿里云国内75折 回扣 微信号:monov8
阿里云国际,腾讯云国际,低至75折。AWS 93折 免费开户实名账号 代冲值 优惠多多 微信号:monov8 飞机:@monov6
标签: 机器学习

“【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(11):向量组的线性相关性” 的相关文章