第二类换元法

前置知识直接积分法

第二类换元法简介

在求$\int f(x)dx$时若不好求则我们可以令$x=\phi (t)$则
$$\int f(x)dx=\int f(\phi (t))d(\phi (t))=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$$

这里涉及到一阶微分形式不变性。

以上就是第二类换元法。在积分式$\int f(x)dx$比较复杂的情况下可以用第二类换元法进行变换。

以下是几种代换方法。

三角代换

若被积函数含有二次根式通常用三角换元一般的三角换元如下

• $\sqrt{a^2-x^2}$型令$x=a\sin t$
• $\sqrt{a^2+x^2}$型令$x=a\tan t$
• $\sqrt{x^2-a^2}$型令$x=a\sec t$

可以通过画直角三角形来帮助理解。

三角代换的例题

题1 计算$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$$(a>0)$

解
\qquad 令$x=a\sin t$$t=\arcsin x$$dx=a\cos tdt$

\qquad 原式$=\int a\cos t\cdot a\cos tdt=a^2\int {\cos }^{2}tdt$

$=a^2\int \frac{1}{2}(1+\cos 2t)dt=\frac{a^2}{2}\int (1+\cos 2t)dt$

$=\frac{a^2}{2}(t+\frac{1}{2}\sin 2t)+C=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sin t\cos t+C$

$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \frac{x}{a}\cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C$

$=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C$

题2 计算$\int \frac{1}{\sqrt{(x^2+1{)}^3}}dx$

解
\qquad 令$x=\tan t$$t=\arctan x$$dx={\sec }^{2}tdt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{{\sec }^{3}t}\cdot {\sec }^{2}tdt=\int \cos tdt=\sin t+C=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C$

当$x=\tan t$时$x^2+1={\tan }^{2}t+1=\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}+1=\frac{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}={\sec }^{2}t$

幂代换

被积函数含有$\sqrt[n]{ax+b}$或$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$时通常用幂代换。

幂代换的例题

题1 计算$\int \frac{1}{1+\sqrt{2x}}dx$
解
\qquad 令$\sqrt{2x}=t$$x=\frac{1}{2}{t}^2$$dx=tdt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{1+t}\cdot tdt=\int \frac{t}{1+t}dt=\int (1-\frac{1}{1+t})dt$

$=t-\ln |1+t|+C=\sqrt{2x}+\ln |1+\sqrt{2x}|+C$

倒代换

当分子和分母的幂次相差大于等于$2$时通常用$x=\frac{1}{t}$替换。

倒代换例题

题1 计算$\int \frac{1}{x^4(x^2+1)}dx$
解
\qquad 令$x=\frac{1}{t}$$t=\frac{1}{x}$$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{\frac{1}{t^4}(\frac{1}{t^2}+1)}\cdot (-\frac{1}{t^2})dt$

$=-\int \frac{t^4}{1+t^2}dt=-\int (t^2-1+\frac{1}{1+t^2})dt$

$=-\frac{1}{3}{t}^2+t-\arctan t+C=-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{x}-\arctan \frac{1}{x}+C$

指数代换

由$e^x$或$e^{-x}$构成的北被积函数通常用$t=x^e$替换。

指数替换例题

题1 $\int \frac{1}{1+e^x}dx$
解
\qquad 令$t=e^x$$x=\ln t$$dx=\frac{1}{t}dt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{1+t}\cdot \frac{1}{t}dt=\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t})dt=\ln |t|-\ln |t+1|+C=x-\ln (e^x+1)+C$

总结

在遇到比较复杂的积分题时注意根据被积函数的特性来运用第二类换元法最后要记得换回来。