不定积分24个基本公式整理

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1. 原函数

首先认识一下原函数
原函数的定义如果区间I上可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。

原函数存在定理如果函数f(x)在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数F(x)使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).

简单地说连续函数一定有原函数。

在区间 I 上函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分记作 ∫ f(x)dx . 其中记号 ∫ 称为积分号f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式x 称为积分变量。

2. 常见的积分公式

3. 不定积分的性质

设函数f(x)及g(x)的原函数存在则∫ [ f(x) ± g(x)] dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。

总结

①加减积分可以分开加减积分

②设函数f(x)及g(x)的原函数存在k为非零常数则 ∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx 记非零常数乘以积分可以把常数拿到外面乘不定积分。

4. 换元法

4.1 第一类换元法

设f(u)具有原函数u=φ(x)可导则有换元公式这也叫做凑微分法。

4.2 第二类换元积分法

设x=ψ(t)是单调的可导函数并且 ψ'(t)≠0又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数则有换元公式

这里

4.3 三种常见的换元公式用法

4.4 分部积分法

假设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项得 u v'=(u v)'-u' v 对这个等式两边求积分 ∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式分部积分法的积分顺序反对幂指三其含义是从后面考虑容易积分的先对那个积分。积分顺序先三角函数再对数函数和指数函数其次幂函数再次对数函数最后才是反三角函数。