【机器学习】贝叶斯算法详解 + 公式推导 + 垃圾邮件过滤实战 + Python代码实现

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一、贝叶斯简介

贝叶斯主要解决的问题是“逆概”问题那么什么是正向概率什么是逆向概率呢下面给出解释

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二、贝叶斯公式推导

贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 发展用来描述两个条件概率之间的关系比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则可以立刻导出P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。如上公式也可变形为P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。

下面举一个例子来推导贝叶斯公式

解答如下

最终得到贝叶斯公式如下

$$P(A|B)=\frac{P(A)\times P(B|A)}{P(B)}$$

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三、拼写纠正案例

问题描述如下
例如用户拼写 thr 我们猜测他可能想拼写 the

根据贝叶斯公式我们可以得到如下结论

由于用户实际输入的单词是已知的所以P(D)是一个常数所以上式的P(D)其实可以忽略。
P(h)是我们猜测词可能出现的概率这个概率可以通过从一个庞大的语料库中统计获取
P(D|h)是当用户实际像输入的词是h时用户输入D的概率。假设D是thrh是the那么P(D|h)我们可以通过计算thr要通过多少步的增删改操作才能变为the所需要的步数越少P(D|h)概率越大。

其中P(h)又叫先验概率是我们从庞大语料库中可以获取到的已知概率

贝叶斯和最大似然的区别在于最大似然的结果由数据决定而贝叶斯的结果由先验概率决定。例如抛硬币游戏前一百次都抛了正面最大似然会认为下一次抛肯定还是正面。但是贝叶斯由于有先验概率的存在无论如何他都认为下一次抛出正面的概率是0.5。

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四、垃圾邮件过滤案例

4.1 问题描述

问题的相关描述如下

4.2 朴素贝叶斯引入

一封邮件里有很多单词从实际出发第二个词出现的概率其实是受第一个词的影响的。所以将P(d1,d2,…,dn|h+)扩展之后的公式如下所示

像上面那样展开的话就会导致计算非常复杂为了简化计算我们可以假设相邻词之间是独立无关的这样就可以将展开后的式子简化为下图所示的式子朴素贝叶斯就是比贝叶斯多了独立无关这个假设

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五、基于朴素贝叶斯的垃圾邮件过滤实战

本章节的完整代码和邮件数据集的链接为Python代码实现基于朴素贝叶斯算法的垃圾邮件分类

5.1 导入相关库

import numpy as np
import re
import random

5.2 邮件数据读取

下面是数据集的截图每一行代表一封邮件格式为邮件类别\t邮件内容

# 数据预处理操作词的切分、词转化为小写
def text_parse(input_str):
    word_list = re.split(r"\W+", input_str)
    return [word.lower() for word in word_list if len(word_list) > 2 and len(word) > 0]


# 获取数据
def read_data():
    doc_list = []
    class_list = []
    with open("./data/SMS.txt", "r", encoding="utf-8") as file:
        datas = file.read()
        # print(data)
        datas = datas.split("\n")
        for data in datas:
            # label = ham 代表 正常邮件  label = spam 代表垃圾邮件
            label, text = data.split("\t")
            doc_list.append(text_parse(text))
            # 0正常邮件1垃圾邮件
            class_list.append(0 if label == "ham" else 1)
    return doc_list, class_list

5.3 构建语料表字典

# 构建语料表
def create_vocabulary_list(doc_list):
    vocabulary_set = set([])
    for document in doc_list:
        vocabulary_set = vocabulary_set | set(document)
    return list(vocabulary_set)

5.4 构建训练集的特征向量

# 将一篇邮件转化为 类似 One-Hot 的向量长度和 vocabulary_list 一样为 1 的位置代表该单词在该邮件中出现了
def set_of_word2vector(vocabulary_list, document):
    vec = [0 for _ in range(len(vocabulary_list))]
    for word in document:
        index = vocabulary_list.index(word)
        if index >= 0:
            vec[index] = 1
    return vec
    
train_matrix = []
train_class = []
for train_index in train_index_set:
    train_matrix.append(set_of_word2vector(vocabulary_list, doc_list[train_index]))
    train_class.append(class_list[train_index])

5.5 朴素贝叶斯算法计算概率

回顾一下我们用贝叶斯算法进行垃圾邮件分类时其实就是比较 $P(h_{+}|D)$ 和 $P(h_{-}|D)$ 的大小如果 $P(h_{+}|D)$ 大则表示该邮件更有可能是垃圾邮件否则更有可能是正常邮件。

$$\begin{gathered} P(h_{+}|D)=P(h_{+})\times P(D|h_{+})÷P(D) \\ P(h_{-}|D)=P(h_{-})\times P(D|h_{-})÷P(D) \end{gathered}$$

又因为在针对某封邮件做预测时$P(D)$ 可以看作常数因而可以忽略从而得到简化后的公式如下其实下面式子写等号不严谨应该是正比于但是为了方便后面都将正比于简化为等号

$$\begin{gathered} P(h_{+}|D)=P(h_{+})\times P(D|h_{+}) \\ P(h_{-}|D)=P(h_{-})\times P(D|h_{-}) \end{gathered}$$

其中$P(h_{+})$ 为训练集中垃圾邮件的比率$P(h_{-})$为训练集中正常邮件的比率它们两个就是先验概率。

显然$P(h_{+})+P(h_{-})=1$因此下面我们可以只计算$P(h_{+})$用变量 p_spam 表示$P(h_{+})$ 可以根据训练集很轻易地得到

又因为朴素贝叶斯假设任意两个词之间是独立无关的所以可以将 $P(D|h_{+})$ 和 $P(D|h_{-})$ 展开如下

$$\begin{gathered} P(D|h_{+})=P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+}) \\ P(D|h_{-})=P(d_1|h_{-})\times P(d_2|h_{-})\times ...\times P(d_n|h_{-}) \end{gathered}$$

其中 $d_n$ 代表邮件$D$中的第 $n$ 个单词。$P(d_n|h_{+})$ 表示邮件$D$中的第 $n$ 个单词在垃圾邮件中出现的概率。所以有

$$\begin{gathered} P(d_n|h_{+})=\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})} \\ P(d_n|h_{-})=\frac{C(d_n|h_{-})}{C(h_{-})} \end{gathered}$$

其中 $C(d_n|h_{+})$ 表示邮件$D$中的第 $n$ 个单词在垃圾邮件中出现的次数$C(d_n|h_{-})$ 表示表示邮件$D$中的第 $n$ 个单词在正常邮件中出现的次数$C(h_{+})$ 表示垃圾邮件中的总单词数$C(h_{-})$ 表示正常邮件中的总单词数。根据上式可以推导出

$$\begin{gathered} P(D|h_{+})=\frac{C(d_1|h_{+})}{C(h_{+})}\times \frac{C(d_2|h_{+})}{C(h_{+})}\times ...\times \frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})} \\ P(D|h_{-})=\frac{C(d_1|h_{-})}{C(h_{-})}\times \frac{C(d_2|h_{-})}{C(h_{-})}\times ...\times \frac{C(d_n|h_{-})}{C(h_{-})} \end{gathered}$$

下面的代码中我并没有直接计算出 $P(D|h_{+})$ 和 $P(D|h_{-})$而是计算出了 $\frac{C(d_1|h_{+})}{C(h_{+})}、\frac{C(d_2|h_{+})}{C(h_{+})}、...、\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 和 $\frac{C(d_1|h_{-})}{C(h_{-})}、\frac{C(d_2|h_{-})}{C(h_{-})}、...、\frac{C(d_n|h_{-})}{C(h_{-})}$并把它们分别存在了两个列表中p_spam_vec 和 p_ham_vec

以计算 $\frac{C(d_1|h_{+})}{C(h_{+})}、\frac{C(d_2|h_{+})}{C(h_{+})}、...、\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 为例在计算它们的过程中用到了两个辅助变量 p_spam_molecule 和 p_spam_denominator分别代表 $\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 的分子和分母。

但是按照上面的公式有一些时候会出问题。下面进行问题说明和解决方案的阐述

问题一假设某个单词没有出现在垃圾邮件中意味着 $C(d_n|h_{+})=0$即 $P(d_n|h_{+})=0$。又因为 $P(D|h_{+})=P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+})$ 是连乘的所以只要一个元素为0那么最终 $P(D|h_{+})$ 就为0。

问题二假设训练集中没有垃圾邮件意味着 $C(h_{+})=0$即公式 $P(d_n|h_{+})=\frac{C(d_n|h_{+})}{C(h_{+})}$ 的分母为0此时作除法是会引发异常的

为了解决上述两个问题我们在下面的代码中做了平滑处理又叫做拉普拉斯平滑。

针对问题一我们假设 $C(d_n|h_{+})$ 至少为 1所以下面代码中用了 np.ones() 函数对分子进行初始化而不是用 np.zeros()

针对问题二我们假设 $C(h_{+})$ 至少为 mm通常为该分类任务中的类别数量例如在垃圾邮件分类中只有垃圾和正常两种邮件所以m为2

以此类推对于 $C(d_n|h_{-})$ 和 $C(h_{-})$ 也是一样。

# 用朴素贝叶斯算法进行计算
def naive_bayes(train_matrix, train_class):
    # 样本个数
    train_data_size = len(train_class)
    # 语料库大小
    vocabulary_size = len(train_matrix[0])
    # 计算垃圾邮件的概率值
    p_spam = sum(train_class) / train_data_size
    # 初始化分子做了一个平滑处理拉普拉斯平滑
    p_ham_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    p_spam_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    # 初始化分母通常初始化为类别个数在垃圾邮件分类中只有垃圾和正常两种邮件所以类别数为2
    p_ham_denominator = 2
    p_spam_denominator = 2
    # 循环计算分子和分母
    for i in range(train_data_size):
        if train_class[i] == 1:
            p_spam_molecule += train_matrix[i]
            p_spam_denominator += sum(train_matrix[i])
        else:
            p_ham_molecule += train_matrix[i]
            p_ham_denominator += sum(train_matrix[i])
    # 计算概率
    p_ham_vec = p_ham_molecule / p_ham_denominator
    p_spam_vec = p_spam_molecule / p_spam_denominator
    # 返回
    return p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam

5.6 贝叶斯公式的对数变换 + 邮件类别预测

回顾上面介绍过的公式

$$\begin{gathered} P(h_{+}|D)=P(h_{+})\times P(D|h_{+}) \\ P(h_{-}|D)=P(h_{-})\times P(D|h_{-}) \end{gathered}$$

根据上一节的函数我们已经能够求得 $P(h_{+})、P(D|h_{+})、P(h_{-})、P(D|h_{-})$了。但是 $P(D|h_{+})=P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+})$ 是连乘的且每一项都是在 [0,1] 区间内的这也就意味着经过连乘之后$P(D|h_{+})$ 和 $P(D|h_{-})$ 的值往往非常小。这是不利于它们之间大小比较的。

所以我们通常采用取对数通常是取自然对数 $\ln$的方式将它们“放大”。下面是自然对数的图像

取自然对数之后公式变为

$$\begin{gathered} \ln (P(h_{+}|D))=\ln (P(h_{+})\times P(D|h_{+}))=\ln (P(h_{+}))+\ln (P(D|h_{+})) \\ \ln (P(h_{-}|D))=\ln (P(h_{-})\times P(D|h_{-}))=\ln (P(h_{-}))+\ln (P(D|h_{-})) \end{gathered}$$

其中

$$\begin{gathered} \ln (P(D|h_{+}))=\ln (P(d_1|h_{+})\times P(d_2|h_{+})\times ...\times P(d_n|h_{+}))=\ln (P(d_1|h_{+}))+\ln (P(d_2|h_{+}))+...+\ln (P(d_n|h_{+})) \\ \ln (P(D|h_{-}))=\ln (P(d_1|h_{-})\times P(d_2|h_{-})\times ...\times P(d_n|h_{-}))=\ln (P(d_1|h_{-}))+\ln (P(d_2|h_{-}))+...+\ln (P(d_n|h_{-})) \end{gathered}$$

综上可得

$$\begin{gathered} \ln (P(h_{+}|D))=\ln (P(h_{+}))+[\ln (P(d_1|h_{+}))+\ln (P(d_2|h_{+}))+...+\ln (P(d_n|h_{+}))] \\ \ln (P(h_{-}|D))=\ln (P(h_{-}))+[\ln (P(d_1|h_{-}))+\ln (P(d_2|h_{-}))+...+\ln (P(d_n|h_{-}))] \end{gathered}$$

# 预测返回预测的类别
def predict(vec, p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam):
    # 由于计算出来的概率通常很接近0所以我们通常取对数将它“放大”这也基于我们在做贝叶斯的时候不需要知道他们确切的概率只需要比较他们概率大小即可
    p_spam = np.log(p_spam) + sum(vec * np.log(p_spam_vec))
    p_ham = np.log(1 - p_spam) + sum(vec * np.log(p_ham_vec))
    return 1 if p_spam >= p_ham else 0

5.7 完整代码 + 运行输出

完整代码

import numpy as np
import re
import random


# 数据预处理操作词的切分、词转化为小写
def text_parse(input_str):
    word_list = re.split(r"\W+", input_str)
    return [word.lower() for word in word_list if len(word_list) > 2 and len(word) > 0]


# 获取数据
def read_data():
    doc_list = []
    class_list = []
    with open("./data/SMS.txt", "r", encoding="utf-8") as file:
        datas = file.read()
        # print(data)
        datas = datas.split("\n")
        for data in datas:
            # label = ham 代表 正常邮件  label = spam 代表垃圾邮件
            label, text = data.split("\t")
            doc_list.append(text_parse(text))
            # 0正常邮件1垃圾邮件
            class_list.append(0 if label == "ham" else 1)
    return doc_list, class_list


# 构建语料表
def create_vocabulary_list(doc_list):
    vocabulary_set = set([])
    for document in doc_list:
        vocabulary_set = vocabulary_set | set(document)
    return list(vocabulary_set)


# 将一篇邮件转化为 类似 One-Hot 的向量长度和 vocabulary_list 一样为 1 的位置代表该单词在该邮件中出现了
def set_of_word2vector(vocabulary_list, document):
    vec = [0 for _ in range(len(vocabulary_list))]
    for word in document:
        index = vocabulary_list.index(word)
        if index >= 0:
            vec[index] = 1
    return vec


# 用朴素贝叶斯算法进行计算
def naive_bayes(train_matrix, train_class):
    # 样本个数
    train_data_size = len(train_class)
    # 语料库大小
    vocabulary_size = len(train_matrix[0])
    # 计算垃圾邮件的概率值
    p_spam = sum(train_class) / train_data_size
    # 初始化分子做了一个平滑处理拉普拉斯平滑
    p_ham_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    p_spam_molecule = np.ones(vocabulary_size)
    # 初始化分母通常初始化为类别个数在垃圾邮件分类中只有垃圾和正常两种邮件所以类别数为2
    p_ham_denominator = 2
    p_spam_denominator = 2
    # 循环计算分子和分母
    for i in range(train_data_size):
        if train_class[i] == 1:
            p_spam_molecule += train_matrix[i]
            p_spam_denominator += sum(train_matrix[i])
        else:
            p_ham_molecule += train_matrix[i]
            p_ham_denominator += sum(train_matrix[i])
    # 计算概率
    p_ham_vec = p_ham_molecule / p_ham_denominator
    p_spam_vec = p_spam_molecule / p_spam_denominator
    # 返回
    return p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam


# 预测返回预测的类别
def predict(vec, p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam):
    # 由于计算出来的概率通常很接近0所以我们通常取对数将它“放大”这也基于我们在做贝叶斯的时候不需要知道他们确切的概率只需要比较他们概率大小即可
    p_spam = np.log(p_spam) + sum(vec * np.log(p_spam_vec))
    p_ham = np.log(1 - p_spam) + sum(vec * np.log(p_ham_vec))
    return 1 if p_spam >= p_ham else 0


if __name__ == '__main__':
    # 读取数据
    doc_list, class_list = read_data()
    print(f"A total of {len(class_list)} email data were read, including {sum(class_list)} spam")

    # 构建语料表
    vocabulary_list = create_vocabulary_list(doc_list)

    # 划分训练集和测试集
    test_ratio = 0.3
    train_index_set = [i for i in range(len(doc_list))]
    test_index_set = []
    for _ in range(int(len(doc_list) * test_ratio)):
        index = random.randint(0, len(train_index_set) - 1)
        test_index_set.append(train_index_set[index])
        del train_index_set[index]
    print(f"test_ratio: {test_ratio} , train_data_size: {len(train_index_set)} , test_data_size: {len(test_index_set)}")

    # 将邮件转化为向量
    train_matrix = []
    train_class = []
    for train_index in train_index_set:
        train_matrix.append(set_of_word2vector(vocabulary_list, doc_list[train_index]))
        train_class.append(class_list[train_index])

    # 用朴素贝叶斯算法进行计算
    p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam = naive_bayes(np.array(train_matrix), np.array(train_class))

    # 测试部分
    # 记录预测正确的数量
    acc_cnt = 0
    for test_index in test_index_set:
        vec = set_of_word2vector(vocabulary_list, doc_list[test_index])
        predict_class = predict(vec, p_ham_vec, p_spam_vec, p_spam)
        if predict_class == class_list[test_index]:
            acc_cnt += 1
    print(f"test accuracy: {acc_cnt / len(test_index_set)}")

运行输出

A total of 5574 email data were read, including 747 spam
test_ratio: 0.3 , train_data_size: 3902 , test_data_size: 1672
test accuracy: 0.9826555023923444