克拉默法则证明(Cramer‘s Rule)
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若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n \begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_ {12}x_{2} + ... + a_{1n}x_{n} = b_1 \\ a_{21}x_{1} + a_ {22}x_{2} + ... + a_{2n}x_{n} = b_2 \\ ... ...\\ a_{n1}x_{1} + a_ {n2}x_{2} + ... + a_{nn}x_{n} = b_n \end{cases} \end{equation*} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2......an1x1+an2x2+...+annxn=bn
的系数行列式 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0则方程组有唯一解且
x i = ∣ A i ∣ ∣ A ∣ , i = 1 , 2 , . . . , n x_i = \frac{|A_i|}{|A|}, i = 1, 2, ..., n xi=∣A∣∣Ai∣,i=1,2,...,n
其中 ∣ A i ∣ |A_i| ∣Ai∣ 是 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 中的 i i i 列元素即 x i x_i xi 的系数替换成方程组右端的常数项 b 1 , b 2 , . . . , b n b_1, b2, ..., b_n b1,b2,...,bn 所构成的行列式。
证明
使用
a
1
,
.
.
.
,
a
n
a_1, ..., a_n
a1,...,an 表示 A 的列用
e
1
,
.
.
.
,
e
n
e_1, ... , e_n
e1,...,en 表示
n
×
n
n\times n
n×n的单位阵
I
I
I的列。由于有
A
x
=
b
Ax = b
Ax=b由矩阵乘法
A
⋅
[
e
1
,
.
.
.
,
x
,
.
.
.
,
e
n
]
=
[
A
e
1
,
.
.
.
,
A
x
,
.
.
.
,
A
e
n
]
=
[
a
1
,
.
.
.
,
b
,
.
.
.
,
a
n
]
=
A
i
\begin{align*} A\cdot [e_1, ..., x, ..., e_n] &= [Ae_1, ..., Ax, ..., Ae_n] \\ &= [\ \ a_1\ , ...\ , \ b\ \ , ..., a_n] \\ &= A_i \end{align*}
A⋅[e1,...,x,...,en]=[Ae1,...,Ax,...,Aen]=[ a1 ,... , b ,...,an]=Ai
记
[
e
1
,
.
.
.
,
x
,
.
.
.
,
e
n
]
[e_1, ..., x, ..., e_n]
[e1,...,x,...,en] 为
I
i
(
x
)
I_i(x)
Ii(x)
两边求行列式
∣
A
∣
⋅
∣
I
i
(
x
)
∣
=
∣
A
i
∣
|A|\cdot|I_i(x)| = |A_i |
∣A∣⋅∣Ii(x)∣=∣Ai∣
其中
∣
I
i
(
x
)
∣
=
x
i
|I_i(x)| = x_i
∣Ii(x)∣=xi
所以有 x i = ∣ A i ∣ ∣ A ∣ , ∣ A ∣ ≠ 0 x_i = \frac{|A_i|}{|A|},|A|\neq 0 xi=∣A∣∣Ai∣,∣A∣=0得证。
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