神秘算法 —— 线性基求交

线性基求交：设 \(A,B\) 为两个线性基，\(V_A,V_B\) 分别为其生成空间，则 \(V_C=V_A\cap V_B\) 是一个线性空间，称 \(A\) 与 \(B\) 两个线性基的交为 \(C\)。

首先证明 \(V_C\) 是一个线性空间。其实很显然，对于任意 \(x,y\in V_C=V_A\cap V_B\)，\(x,y\in V_A\implies x\oplus y\in V_A\)，同理 \(x\oplus y\in V_B\)，从而 \(x\oplus y\in V_A\cap V_B=V_C\)。

以下是求线性基的交 \(C\) 的算法：

首先对线性基 \(B\) 进行一些调整（后面会讲），保持其生成空间 \(V_B\) 不变。
设存在一个线性基 \(W\)，满足以下三条性质：

说成人话，就是 \(W\) 是线性基 \(B\) 中与 \(V_A\) 有交的那部分，\(B\) 中其余部分与 \(A\) 线性无关。
那么可以证明，\(W\) 即为所求的线性基的交 \(C\)。

分两步证明 \(V_W=V_A+V_B\)：

1. 假设存在 \(u\notin V_W\) 且 \(u\in V_A\cap V_B\)。
   由于 \(u\in V_B\)，故此时存在一些 \(\{b_i\}\) 满足 \(b_i\in B,\ \bigoplus b_i=u\)。将这些 \(b_i\) 分成两部分，前者 \(\in W\)，后者 \(\in B-W\)，令前者的异或和为 \(s\)，后者为 \(t\)，则 \(s\in V_W,t\in V_{B-W}\)。
   而 \(u\in V_A,s\in V_W\subseteq V_A\)，故 \(t=u\oplus s\in V_A\)。又 \(t\in V_{B-W}\)，由性质 3 得 \(t=0\)，从而 \(u=s\in V_W\)，矛盾。
2. 假设存在 \(u\in V_W\) 且 \(u\notin V_A\cap V_B\)。
   组成 \(u\) 的基底既在 \(B\) 中也在 \(V_A\) 中，显然矛盾。

现在我们剩下的问题就剩下求出 \(W\) 了。

对每个 \(b_i\) 依次执行以下操作：

• 若 \(b_i\in \mathrm{span}(\{a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_{i-1}\})\)，设其表示为 \(b_i=\alpha \oplus \beta\)，其中 \(\alpha \in V_A,\beta \in \mathrm{span}\{b_1,\dots,b_{i-1}\}\)，令 \(b_i\leftarrow b_i\oplus \beta\)，并标记其为 \(1\) 类；
  否则，不做任何操作，标记其为 \(2\) 类。

最终得到的 \(\{b_i\}\) 与 \(V_A\) 的交即为满足条件的 \(W\)。以下证明其满足 \(V_{B-W}\cap V_A=\{0\}\)：

发现经过前面的操作，所有 \(1\) 类的 \(b_i\) 都 \(\in V_A\)，所有 \(2\) 类的 \(b_i\) 都 \(\notin V_A\)。于是 \(1\) 类 \(b_i\) 所组成的集合即为 \(W\)，\(2\) 类即为 \(B-W\)。

若存在 \(u\neq 0\) 满足 \(u\in V_{B-W}\) 且 \(u\in V_A\)，则存在若干个 \(2\) 类 \(b_i\) 以及若干个 \(a_i\) 使得 \(\bigoplus b_i=u=\bigoplus a_i\)，取出这些 \(b_i\) 中下标最大的那个 \(b_k\)，则 \(b_k=b_1\oplus b_2\oplus \dots \oplus b_{k-1} \oplus \bigoplus a_i\)，与在位置 \(k\) 时 \(b_k\) 没有标记为 \(1\) 类矛盾！

证毕。