目录

一、概念

图是什么

各种图的定义

二、图的存储结构

邻接矩阵

邻接表

代码实现邻接表存储图不含权重

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一、概念

图是什么

        图Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成通常表示为:G(V,E)其中G 表示一个图V 是图G 中顶点的集合E 是图G 中边的集合。

各种图的定义

        若顶点v1到V之间的边没有方向则称这条边为无向边(Edge)用无序偶对(v,vy) 来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边则称该图为无向图(Undirected graphs)。 下图左图就是一个无向图由于是无方向的连接顶点A与D的边可以表示成无序对(A,D), 也可以写成(D,A)。

        对于左图无向图G1来说G1= (V,{E1}), 其中顶点集合V1={A,B,C,D};边集合E1={ (A,B) (B,C) (C,D) (D,A) (A,C) }。

        有向边:若从顶点 v到的边有方向则称这条边为有向边也称为弧(Arc )。用有序偶<vi v1>来表示称为弧尾(Tail)称为头(Head)。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边则称该图为有向图(Directed graphs)。图 7-2-3就是一个有向图。连接顶点A到 D的有向边就是A是尾D是头AD表示注意不能写成<DA>。

 

        在图中若不存在顶点到其自身的边且同一条边不重复出现则称这样的图为简单图。如下两种图就不属于我们讨论的范围。 

        在无向图中如果任意两个顶点之间都存在边则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有 n*(n-1)/2 条边。比如图7-2-5 就是无向完全图因为每个顶点都要与除它以外的顶点连线顶点A与BCD三个顶点连线共有四个顶点自然是4x3,但由于顶点A与顶点B连线后计算B与A连线就是重复因此要整体除以2共有6条边。

          在有向图中如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧则称改图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。如下图所示。

        有很少条边或弧的图称为稀疏图反之称为稠密图。这里稀疏和稠密是模糊的概念都是相对而言的。

        有些图的边或弧具有与它相关的数字这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网(Network)。下图就是一张带权的图即标识中国四大城市的直线距离的网此图中的权就是两地的距离。

        假设有两个图 G=(V{E})和G`=(V`{E`})如果V`包含于V且E`包含于E则称G`为G的子图(Subgraph)文字描述就是子图的顶点和边都在G图内存在。例如下图带底纹的图均为左侧无向图与有向图的子图。

        路径的长度是路径上的边或弧的数目。下图中左侧路径长为2右侧路径长度为3。

        第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外其余顶点不重复出现的回路称为简单回路或简单环。

        图中任意两个顶点之间是连通的有路径的则称该图为连通图。

        无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念它强调:

• 要是子图;
• 子图要是连通的;
• 连通子图含有极大顶点数:
• 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

总结

• 图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。
• 图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
• 图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度有向图顶点分为入度和出度。
• 图上的边或弧上带权则称为网。
• 图中顶点间存在路径两顶点存在路径则说明是连通的如果路径最终回到起始点则称为环当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的则图就是连通图有向则称强连通图。图中有子图若子图极大连通则就是连通分量有向的则称强连通分量。
• 无向图中连通且n个顶点 n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。

二、图的存储结构

        图的存储结构相较线性表与树来说就更加复杂了。首先我们口头上说的“顶点的位置”或“邻接点的位置”只是一个相对的概念。其实从图的逻辑结构定义来看图上任何一个顶点都可被看成是第一个顶点任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。

        比如下图的四张图仔细观察发现它们其实是同一个图只不过顶点的位置不同就造成了表象上不太一样的感觉。

邻接矩阵

为什么用邻接矩阵解决

        考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系一维搞不定那就考虑用一个二维数组来存储。于是我们的邻接矩阵的方案就诞生了。

邻接矩阵如何存储

        图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

        如下左图为一无向图右图为根据左图设置的邻接矩阵如果两顶点之间有边则值为1无边值为0。某个顶点的度是这个顶点在接矩阵中第i行(或第i列)的元素之和。比如顶点 v1的度就是1+0+1+0=2。

下图为有向图及其邻接矩阵。

 

邻接表

        邻接矩阵是不错的一种图存储结构但是对于边数相对顶点较少的图这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。比如说如果我们要处理下图这样的稀疏有向图邻接矩阵中除了arc[1][0]有权值外没有其他弧其实这些存储空间都浪费掉了。

         因此引入同样适用于图的存储的邻接表。

        邻接表( Adjacency List)是数组与链表相结合的存储方法。具体如下

1. 顶点用一个一维数组存储当然顶点也可以用单链表来存储不过数组可以较容易地读取顶点信息更加方便。另外对于顶点数组中每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针以便于查找该顶点的边信息。
2. 图中每个顶点v的所有邻接点构成一个线性表由于邻接点的个数不定所以用单链表存储无向图称为顶点v的边表有向图则称为顶点v作为弧尾的出边表。例如下图所示的就是一个无向图的邻接表结构。

        从图中我们知道顶点表的各个结点由data和 firstedge 两个域表示data是数据域存储顶点的信息firstedge 是指针域指向边表的第一个结点即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和 next两个域组成。adjvex是邻接点域存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标next则存储指向边表中下一个结点的指针。比如v1顶点与vo、vz互为邻接点则在v1的边表中adjvex 分别为vo的0和vz的2。
        这样的结构对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点v到v是否存在边只需要测试顶点v的边表中 adjvex是否存在结点v的下标j就行了。若求顶点的所有邻接点其实就是对此顶点的边表进行遍历得到的adjvex域对应的顶点就是邻接点。
        若是有向图邻接表结构是类似的比如图下图中第一幅图的邻接表就是第二幅图。但要注意的是有向图由于有方向我们是以顶点为弧尾来存储边表的这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧我们可以建立一个有向图的逆邻接表即对每个顶点v都建立一个链接为v为弧头的表。如下图最下面的图所示。

        此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
        对于带权值的网图可以在边表结点定义中再增加一个 weight的数据域存储权值信息即可如下图所示。

 

代码实现邻接表存储图不含权重

//邻接表
#include<iostream>
using namespace std;
#define SIZE 10

class Edge//边
{
public:
    Edge() :m_next(NULL) {}
    Edge(int index) :m_destindex(index), m_next(NULL) {}
    int m_destindex;
    Edge* m_next;
};

class Vertex//顶点
{
public:
    Vertex():m_list(NULL){}
    Vertex(char v):m_value(v),m_list(NULL){}
    char m_value;
    Edge* m_list;
};
//图存储顶点的一维数组
class Graph
{
public:
    Graph();
    ~Graph();
    void InsertVertex(char v);//插入顶点
    void InsertEdge(char v1, char v2);//边
    int GetVertexIndex(char v);//获得顶点下标
    void ShowGraph();
    void DeleteEdge(char v1, char v2);//删除边函数
    void DeleteVertex(char v);//删除顶点函数
private:
    int m_MaxVertex;//最大能存储的顶点个数
    int m_NumVertex;//实际存储的个数
    //Vertex* m_VerArr;
    Vertex m_VerArr[SIZE];
};
Graph::Graph()
{
    m_MaxVertex = SIZE;
    m_NumVertex = 0;
    //m_VerArr = new Vertex[m_MaxVertex];
}
Graph::~Graph()
{
 /*   if (m_VerArr != NULL)
    {
        delete[]m_VerArr;
        m_VerArr = NULL;
    }*/
    m_NumVertex = 0;
}
void Graph::InsertVertex(char v)
{
    if (m_NumVertex >= m_MaxVertex)//空间满了就不放
        return;
    //没满就放
    m_VerArr[m_NumVertex++].m_value = v;
}

int Graph::GetVertexIndex(char v)
{
    //循环查找
    for (int i = 0; i < m_NumVertex; i++)
    {
        if (m_VerArr[i].m_value == v)//找到返回下标
            return i;
    }
    return -1;//没找到
}
void Graph::InsertEdge(char v1, char v2)
{
    //1.获得顶点下标没有该下标下标=-1
    int p1index = GetVertexIndex(v1);
    int p2index = GetVertexIndex(v1);
    if (p1index == -1 || p2index == -1)
    {
        return;//任有一个不存在就返回
    }
    //插入v1到v2的边头插法把p2的结点插入到p1前面
    Edge* p = new Edge(p2index);//new出p2的结点
    p->m_next = m_VerArr[p1index].m_list;//p2的头
    m_VerArr[p1index].m_list = p;//然后把头挪到P的位置
    //v2到v1同理操作
    p = new Edge(p1index);
    p->m_next = m_VerArr[p2index].m_list;
    m_VerArr[p2index].m_list = p;
}

void Graph::ShowGraph()
{
    Edge* p = NULL;
    for (int i = 0; i < m_MaxVertex; i++)
    {
        cout << i << " " << m_VerArr[i].m_value << "->";//先把每个顶点输出
        p = m_VerArr[i].m_list;//让p=边链表的头
        while (p != NULL)
        {
            cout << p->m_destindex << "-》";
            p = p->m_next;
        }
    }
}
//删除边
void Graph::DeleteEdge(char v1, char v2)
{
    int p1index = GetVertexIndex(v1);
    int p2index = GetVertexIndex(v2);
    if (p1index == -1 || p2index == -1)//没找到
        return;
    //先删除v1到v2
    Edge* pf = NULL;
    Edge* p = m_VerArr[p1index].m_list;//p定位到头节点位置
    while (p != NULL && p->m_destindex != p2index)
    {
        pf = p;
        p = p->m_next;
    }
    if (p == NULL)//没有边
        return;
    if(pf==NULL)//删除的是第一个边p就把头指向第二个边
    {
        m_VerArr[p1index].m_list = p->m_next;
    }
    else//删除的是第二个及后面的边就让第一个指向p的下一个
    {
        pf->m_next = p->m_next;
    }
    delete p;
    pf = NULL;
    //删除v2到v1
    p = m_VerArr[p2index].m_list;//p指向v2
    while (p->m_destindex != p1index)
    {
        pf = p;
        p = p->m_next;
    }
    //1.第一个
    if (pf == NULL)
        m_VerArr[p2index].m_list = p->m_next;
    //2.第二个以后
    else
        pf->m_next = p->m_next;
    delete p;
}

//删顶点删除顶点不仅需要删除某一顶点还需要删除和他相连的边
void Graph::DeleteVertex(char v)//删除顶点v
{
    int vindex = GetVertexIndex(v);
    if (vindex == -1)
        return;
    Edge* p = m_VerArr[vindex].m_list;
    char destVerTex;
    while (p != NULL)//先把顶点内边删除完毕
    {
        destVerTex = m_VerArr[p->m_destindex].m_value;
        DeleteEdge(v, destVerTex);
        p = m_VerArr[vindex].m_list;
    }
    //然后开始删除顶点
    //顶点是个一维数组普通删除是移动进行替换但是此处采用的方式是覆盖用最后一个顶点覆盖待删除顶点的所有信息
    m_NumVertex--;//顶点个数先--
    m_VerArr[vindex].m_value = m_VerArr[m_NumVertex].m_value;
    m_VerArr[vindex].m_list = m_VerArr[m_NumVertex].m_list;

    //在其他节点内对删除结点的边进行下标替换为最后一个结点的下标
    p = m_VerArr[vindex].m_list;//p是记录最后一个结点对应的链内下标
    Edge* q = NULL;//q记录新结点对应链内下标
    while (p != NULL)
    {
        int k = p->m_destindex;//p内找到结点下标a
        q = m_VerArr[k].m_list;//q记录新结点对应链内下标
        while (q != NULL)//在q内查找这个a下标
        {
            if (q->m_destindex == m_NumVertex)//找到了就把a结点的值改为p所在的结点最后挪上来的结点
            {
                q->m_destindex = vindex;
                break;
            }
            else
                q = q->m_next;
        }
        p = p->m_next;
    }
}


int main()
{
    Graph g;
    g.InsertVertex('a');
    g.InsertVertex('b');
    g.InsertVertex('c');
    g.InsertVertex('d');
    g.InsertEdge('a', 'b');
    g.InsertEdge('a', 'c');
    g.InsertEdge('a', 'd');
    g.InsertEdge('b', 'c');
    g.InsertEdge('c', 'd');
    g.ShowGraph();
}