图中心性【点度中心性】【特征向量中心性】【中介中心性】【接近中心性】

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目录

1、点度中心性degree centrality

2、特征向量中心性eigenvector centrality

3、中介中心性betweenness centrality

4、接近中心性closeness centrality

在图论和网络分析中中心性Centrality是判断网络中节点重要性/影响力的指标。

1、点度中心性degree centrality

在无向网络中我们可以用一个节点的度数来衡量中心性。这一指标背后的假设是重要的节点就是拥有许多连接的节点。

$DC = \frac{N_{degree}}{n-1}$

2、特征向量中心性eigenvector centrality

特征向量中心性的基本思想是一个节点的中心性是相邻节点中心性的函数。也就是说与你连接的人越重要你也就越重要。

$A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

现在考虑x一个5x1的向量向量的值对应图中的每个点。

$A \times X= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 + 1 \cdot x_4 + 0 \cdot x_5 \\ 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 + 0 \cdot x_4 + 0 \cdot x_5 \\ 1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 + 1 \cdot x_4 + 0 \cdot x_5 \\ 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 + 0 \cdot x_4 + 1 \cdot x_5 \\ 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 + 1 \cdot x_4 + 0 \cdot x_5 \\ \end{bmatrix}$

邻接矩阵做的事情是将相邻节点的求和值重新分配给每个点。这样做的结果就是“扩散了”点度中心性。

我们认为图中的点存在一个数值集合对于它用矩阵 $A$ 去乘不会改变向量各个数值的相对大小。也就是说它的数值会变大但乘以的是同一个因子。用数学符号表示就是

$M\bf x=\lambda \bf x$

$M\times \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \cdots \\ x_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3 \\ \cdots \\ \lambda x_n \\ \end{bmatrix}$

满足这一属性的向量就是矩阵的特征向量。特征向量的元素就是图中每个点的特征向量中心性。

$A\bf x=\lambda \bf x$
$\bf x=c A \bf x$

其中c为一个比例常数 $c=\lambda^{-1}$ ${\bf{x}}=[x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n]^T$ 。记x_i是v_i的特征向量中心性度量则

$EC(i)=x_i=c\sum_{j=1}^n {a_{ij}x_j}$

如图先求出该图所表示的邻接矩阵的特征值。选最大的一个特征值2.48求出对应的特征向量。将其乘以-1是没有影响的。于是得到了图中所示的特征向量中心性{1: 0.53, 2: 0.358, 3: 0.358, 4: 0.427, 5: 0.53}

可以看到1和5节点的特征向量中心性是比较大的因为其本身的度就比较大。

其次是234节点它们自身的度都是2但是特征向量中心性不一样。2连接了13连接了5但是4连接了1和5特征向量中心性与该节点的邻居节点重要性相关所以4的特征向量中心性比2和3的大。

3、中介中心性betweenness centrality

中介中心性的思想是如果一个成员位于其他成员的多条最短路径上那么该成员就是核心成员就具有较大的中介中心性。它是指网络中经过某点并连接这两点的最短路径占这两点之间的最短路径线总数之比。

以经过某个节点的最短路径数目来刻画节点的重要性指标。计算公式

$BC=\sum_{s,t\neq i} \frac{d_{st}(i)}{d_{st}}$

其中 $d_{st}$ 表示s到t的最短路径数量 $d_{st}(i)$ 表示从s到t的最短路径中经过 $i$ 节点的数量。 $s,t\neq i$ 。

4、接近中心性closeness centrality

反映在网络中某一节点与其他节点之间的接近程度。如果节点到图中其他节点的最短距离都很小那么它的接近中心性就很高。相比中介中心性接近中心性更接近几何上的中心位置。

如果进行归一化处理就是求这个节点到其他所有节点的平均最短距离。计算公式:

$d_i=\frac{\sum_{j\neq i} d_{ij}}{n-1}$

一个节点的平均最短距离越小那么这个进行的接近中心性就越大。如果节点 $i$ 和节点 $j$ 之间没有路径可达则定义 $d_{ij}$ 为无穷大其倒数为0。

$CC_i=\frac{1}{b_i}=\frac{n-1}{\sum_{j\neq i} d_{ij}}$

$CC_i$ 表示i节点的接近中心性 $d_{ij}$ 表示i到j的最短距离。 $CC_i$ 值越大 $i$ 点的接近中心性越大。

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