【数学建模】经典简单例题实例1

问题内容

例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处然然后他妻子开车接他回家。有一天他比平时提早了三十分钟到达该处于是此人就沿着他朋友来接他的方向步行回去并在途中遇到了她这一天他比平时提前了十分钟到家问此人共步行了多长时间

问题描述

该问题求解涉及到对时间的计算由于此人比平时提前了十分钟回家并且他到达平时被妻子接到的位置提早了三十分钟我们可以知道他比平时快十分钟的时间是相对于此人比平时多行走了二十分钟。对于其妻子来说比平时正常时间来说提早回来了十分钟也就是说明其妻子与此人相遇后并未和平时路线一样可认为其妻子遇上此人后返回。对于该问题我们创建一个位置图像描述

其中我们规定A为此人下班的位置处B为平时下班预定时间到达的地点也即为妻子平时接到该人的地点C为这一天此人走路回家途中遇到妻子的地点D为家的位置。

模型假设的意义

1. 针对问题的主要因素忽略次要因素
2. 使我们要解决的问题简化使模型更合理化
3. 模型假设的重要性——关系建模的成败与优劣。

本题缺少很多因素对于求解该问题影响很大日常生活中有大量无法被预测的事件影响该问题使得无法得到与问题所需要求解的时间我们只能通过假设来尽可能的求解。

思路分析

由题目描述该人比平时提前十分钟到家。对于该问题我们假设
①该此人的速度为均速前进。
②此人妻子开车速度同样为均速并且对于该段路程妻子每天在相同路段使用时间相同。
③当妻子在路程中行驶遇到此人时车辆立即返回并忽略上车掉头等其他时间。
④妻子每天在同一时刻从家中出发前往预定时间某处。

由题目所给出的时间我们设此人到达B平时所用时间为T1此人到达C平时所用时间为T2这一天此人所步行的时间为t。

我们可以通过坐标系简易的画出此人在此天和平时的大致行动轨迹。

由题目给出的条件此人该天比平时正常到家时间提前了10分钟通过假设可知妻子用车送此人经过的相同路程CD所用时间相同也就意味着此人比平时早十分钟到达C点所以这一天到达C点的时刻为T2-10由题此人到达B点的时间比平时提前了30分钟所以这一天到达B点的时刻为T1-30。
因此此人在BC段步行时间
t=T2-10-T1-30 1
对于其妻子来说妻子同样比平时提前了10分钟抵达家中相比于平时到达B点这次妻子只需要到达C点即可返回家中也就是说对于提前的十分钟妻子节省的时间就是节省在BC来回的路程运动的时间。由此可得其妻子节约时间与此人到达BC点的时间之间的关系为
T2-T1=10/2 2
由此假设将12两式联立求解可得
t=25 (min)
满足这些假设得出的结果为此人这天步行时间为25分钟。