简介及基本原理

多项式混沌采用多项式基组合成随机空间来描述和传播随机变量的不确定性。本质是利用正交多项式的优异性能通过随机变量的输入到响应的映射过程建立代理模型。该方法收敛性好使用方便能较好的适用于复杂的系统。但是该方法理论难度高多元情况下正交多项式形式复杂难以程序化、模块化。因此得到便于 程序实现的多项式通项形式也成为了现研究的重点。
对于任意的随机变量只要它的概率密度函数(PDF)满足

则该变量能表示为一系列独立的标准随机变量的函数。对于大部分机械结构问题都满足这种特性。内积空间中给定一组完备正交基给定的任意向量都可以由这组正交基表示。当向量为函数时也可由一组正交函数基表示出来。
考虑随机变量的分布形式为标准正态分布采用与之对应的Hermite正交多项式基Hn其两个正交多项式内积为

由正交多项式性质其满足

其中fx为权函数需满足非负可积。这些多项式构成了一组标准的正交函数基因此任意给定函数R都可以展开为如下形式

Ci为待定系数。
在结构可靠度分析中R可以代替功能函数在不确定性传播中R可以代替响应函数。
Hermite正交多项式可以由下式给出

例如当为二维随机变量时Hermite多项式为如下形式

由此任意给定函数写成

在实际工程中我们将其取到有限阶p阶则

其中
n为随机变量的维数。
这样就建立好了所需函数的代理模型我们可以根据各个输入和响应代入该模型就可以求得改模型的各项系数。
当我们处理不确定传播问题时可以利用各种抽样方法得到响应的不确定性参量因为代理模型为多项式组合计算成本低。

程序流程