MATLAB教程七：MATLAB符号计算

7.1 符号对象

符号对象的建立

sym函数用于建立单个符号对象其常用调用格式为

                                 符号对象名=sym(A)

将由 A 来建立符号对象。其中A 可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式不加单引号此时符号对象为一个符号常量A也可以是一个变量名加单引号这时符号对象为一个符号变量。

>> t=sym(2);
>> t+1/2
ans=
	5/2
>> sin(sym(pi/3))
ans =
	3^(1/2)/2
>> sin(pi/3)
ans =
	0.8660

syms命令可以一次定义多个符号变量其一般调用格式如下

             syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

其中变量名不能加单引号相互之间用空格隔开。

符号对象的运算

四则运算符号表达式的四则运算与数值运算一样用+、-、*、/、^ 运 算符实现其运算结果依然是一个符号表达式。

>> syms x;
>> f=2*x^2+3*x-5;
>> g=x^2-x+7;
>> f+g
ans =
	3*x^2 + 2*x + 2

关系运算

6种关系运算符<、<=、>、>=、==、=。

对应的6个函数lt()、le()、gt()、ge()、eq()、ne()。

逻辑运算

3种逻辑运算符&与、|或和非。

4个逻辑运算函数and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)。

>> syms x;
>> y=and(x>0,x<10)
y=
	0<x & x<10

因式分解与展开运算

• factor(s)对符号表达式s分解因式也可以对数进行分解质因子。
• expand(s)对符号表达式s进行展开。
• collect(s)对符号表达式s合并同类项。
• collect(s,v)对符号表达式s按变量v合并同类项。

>> syms a b;
>> s=a^3-b^3;
>> factor(s) 
ans=
	[ a-b, a^2 + a*b + b^2]
>> factor(12)
ans=
2 2 3

>> syms x;
>> y=(x+2)^3;
>> expand(y)
ans =
	x^3 + 6*x^2 + 12*x + 8

其他运算

• [n,d]=numden(s)提取有理分式的分子分母。
• c=coeffs(s,x)提取符号表达式的系数。
• simplify(s)符号表达式化简。
• p=sym2poly(s)符号多项式转换为多项式系数向量。
• s=poly2sym§多项式系数向量转换为符号多项式。

例求方程ax2+bx+c=0的根。

>> syms a b c x;
>> f=a*x^2+b*x+c
f =
a*x^2 + b*x + c
>> g=coeffs(f,x)
g =
[c, b, a]
>> g=g(end:-1:1)
g =
[a, b, c]
>> roots(g)
ans =
	-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
	-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

符号矩阵

符号矩阵也是一种符号表达式所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。

注意这些函数作用于符号矩阵时是分别作用于矩阵的每一个元素。

例建立符号矩阵并化简

>> syms a b x y alp;
>> m=[a^3-b^3,sin(alp)^2+cos(alp)^2;(15*x*y-3*x^2)/(x-5*y),78]
m =
	[                   a^3 - b^3, cos(alp)^2 + sin(alp)^2]
	[(- 3*x^2 + 15*y*x)/(x - 5*y),                      78]
>> simplify(m)
ans =
	[a^3 - b^3,  1]
	[     -3*x, 78]

7.2 符号微积分

符号函数的极限

• limit(f,x,a)求符号函数极限的命令为 limit即求函数 f 关于变量 x 在 a 点的极限。
• limit(f,x,a,‘right’) 求函数 f 关于变量 x 在 a 点的左极限。
• limit(f,x,a,‘left’)求函数 f 关于变量x 在 a 点的右极限。

例求下列极限
$$(1)\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a}}{x-a}(2)\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$$

>> syms a m x n;
>> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
>> limit(f,x,a)  
ans =
	a^(1/m - 1)/m
	
>> g=(1+1/n)^n;
>> limit(g,n,inf) 
ans =
	exp(1)

符号函数的导数

• diff(f,x,n)即求函数 f 关于变量 x 的 n 阶导数。参数 x 的用法同求极限函数 limit可以缺省默认值与 limit 相同n 的默认值是1。

例求下列函数的导数
$$(1)y=\sqrt{1+e^x},求y’(2)z=\frac{x{e}^y}{y^2},求z_x^{\prime }、z_y^{\prime }$$

>> syms x y z;
>> f=sqrt(1+exp(x));
>> diff(f) 
ans =
	exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))
	
>> g=x*exp(y)/y^2;
>> diff(g,x) 
ans =
	exp(y)/y^2 
>> diff(g,y) 
ans =
	(x*exp(y))/y^2 - (2*x*exp(y))/y^3

符号函数的积分

不定积分

• int(f,x)求函数 f 对变量 x 的不定积分。

例求下列不定积分
$$(1)\int (3-x^2{)}^{3}dx(2)\int \frac{5xt}{1+x^2}dt$$

>> syms x t;
>> f=(3-x^2)^3;
>> int(f)
ans = 
	- x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x 
>> g=5*x*t/(1+x^2);
>> int(g,t) 
ans = 
	(5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))

定积分

• int(f,x,a,b)求函数 f 对变量 x 的不定积分。其中a、b分别表示定积分的下限和上限。

例求下列定积分
$$(1){\int }_1^2|1-x|dx(2){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}dx(3){\int }_2^{sinx}\frac{4x}{t}dt$$

>> syms x t;
>> int(abs(1-x),1,2)   
ans =
	1/2
>> int(1/(1+x^2),-inf,inf)
ans =
	pi
>> int(4*x/t,t,2,sin(x))
ans =
	4*x*(log(sin(x)) - log(2))

7.3 级数

级数求和

• symsum(s,v,n,m)求无穷级数的和。其中s 表示一个级数的通项是一个符号表达式。v 是求和变量v 省略时使用系统的默认变量。n 和 m 是求和变量 v 的初值和末值。

例求下列级数之和
$$\begin{gathered} S_1=1+4+9+16+\cdots +10000 \\ {S}_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}+\dots \\ {S}_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{1}{2n-1}+\dots \end{gathered}$$

>> syms n;
>> S1=symsum(n^2,1,100) 
S1 =
	338350 
>> S2=symsum((-1)^(n-1)/n,1,inf) 
S2 = 
	log(2) 
>> S3=symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),n,1,inf) 
S3 =
	hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1) - 1          % 超几何函数

泰勒级数

• taylor(f,v,a,Name,Value)将函数展开为幂级数。该函数将函数 f 按变量 v 在 a 点展开为泰勒级数v 的默认值与 diff 函数相同a 的默认值是 0。 Name 和Value 为选项设置经常成对使用前者为选项名后者为该选项的值。

Name有3个可取字符串

1、‘ExpansionPoint’指定展开点对应值可以是标量或向量。未设置时展开点为0。

2、‘Order’指定截断参数对应值为一个正整数。未设置时截断参数为6即展开式的最高阶为5。

3、‘OrderMode’指定展开式采用绝对阶或相对阶对应值为 ‘Absolute’ 或’Relative’。 未设置时取’Absolute’。

例求函数 f 在 x=1 处的5阶泰勒级数展开式。
$$f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}$$

>> syms x;
>> f=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);
>>taylor(f,x,1,'Order',6)
ans =
	2*(x - 1)^3 - 2*(x - 1)^2 - 2*(x - 1)^5 + 3
>> expand(ans) 
ans = 
	- 2*x^5 + 10*x^4 - 18*x^3 + 12*x^2 + 1

例利用泰勒展开式计算三角函数的值。

>> syms x;
>> f=taylor(cos(x),x,pi)
f =
	(x - pi)^2/2 - (x - pi)^4/24 - 1
>> x=3;
>> eval(f)
ans =
   -0.9900
>> cos(3)
ans =
   -0.9900

7.4 符号方程求解

代数方程符号求解

• solve(s)求解符号表达式s的代数方程求解变量为 默认变量。

• solve(s,v)求解符号表达式s的代数方程求解变量 为v。

• solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)求解符号表达式 s1s2…sn组成的代数方程组求解变量分别为v1 v2…vn。

例解方程 $$a{x}^2+bx+c=0$$

>> syms x y a b c; 
>> solve(a*x^2+b*x+c==0)
ans =
	-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
	-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

常微分方程的符号求解

• dsolve(e,c,v)用于求解常微分方程 e 在初值条件 c 下的特解。参数 v 是方程中的自变量省略时按默认原则处理若没有给出初值条件 c则求方程的通解。
• dsolve(e1,e2,…,en,c1,c2,…,cn,v)用于求解常微分方程组 e1, e2, …, en 在初值条件 c1, c2, …, cn 下的特解若不给出初值条件则求方程组的通解。v 给出求解变量如果没有指定自变量 则采用默认自变量t。

注意在MATLAB中用大写字母D表示导数。例如Dy表示y’D2y表示y’‘ Dy(0)=5表示y’(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y’‘’+y’‘+y’-x+5=0。

例求下列微分方程或方程组的解。
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2x^2}\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=4x-2y\\ \frac{dy}{dt}=2x-y\end{array}$$

>> syms x y t;
>> y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2',x)
y =
							x
	-x*(1/(C5 + log(x)/2) - 1)
>> [x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y',t)
x =
	C8/2 + 2*C7*exp(3*t)
y =
	C8 + C7*exp(3*t)