【数据结构】特殊矩阵的压缩存储

一.数组的存储结构

1.数组的定义

数组是由n个相同类型的数据元素所构成的有限序列

数组和线性表的关系
数组是线性表的推广一维数组可以看做是一个线性表而对于二维数组而言可以看成是有多个线性表组成的线性表

也就是每一行$/$列视都为一个线性表总的线性表内每一个元素也是一个定长的线性表

2.数组的存储结构

1. 对于一维数组的存储就是线性表一维数组的所有元素在内存空间中占用一段连续的内存空间

那么对于多维数组的存储在计算机中是如何实现的呢

2. 对于多维数组的存储在计算机中仍表现为一维数组的形式也就是一段连续的内存空间
   

接下来我们就要去尝试模拟计算机存放多维数组的过程

有两种映射方式行优先和列优先

①行优先

以二维数组为例以行优先存储的方式为也就是逐行放入一维数组中

下标转换关系

我们默认下标从0开始对于二维数组 $A[N][M]$ 中的元素 $a_{ij}$ 若希望在行优先转化后的一维数组中访问它我们可以确定其在一维数组中的下标为
 

$k=i\ast M+j$

分解代码实现

1. 行优先二维转一维数组

void row_Reducedim(int a[][M],int *res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

2. 按照索引从一维数组中取值

void visit(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= N-1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= M-1)
	{
		int k = i * M + j;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}

行优先完整代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

void row_Reducedim(int a[][4],int *res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}


void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}


void visit(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= 1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= 3)
	{
		int k = i * 4 + j;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}


int main() {
	int martix[2][4] =
	{ {1,2,3,4},
		{5,6,7,8} };
	int res[8];

	//二维转一维
	row_Reducedim(martix,res, 2, 4); //行优先

	cout << "行转化后的一维数组为" << endl;
	Print(res,8);

	//二维数组元素在一维数组内的映射
	int i, j;
	cout << "对于行转换后的矩阵输入要访问的元素在二维数组中的行,列下标数(>=0)" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit(res, i, j);

	system("pause");
	return 0;
}

②列优先

以二维数组为例以行优先存储的方式为也就是逐列放入一维数组中

下标转换关系

对于二维数组 $A[N][M]$ 中的元素 $a_{ij}$ 其在一维数组中的下标为
 

$k=j\ast N+i$

分解代码实现

1. 列优先二维转一维数组

void col_Reducedim(int a[][4], int* res1, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int j = 0; j < col; j++) {
		for (int i = 0; i < row; i++) {
			res1[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

2. 按照索引从一维数组中取值

void visit1(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= 1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= 3)
	{
		int k = j * 2 + i;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}

列优先完整代码实现

#include<iostream>
using namespace std;


void col_Reducedim(int a[][4], int* res1, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int j = 0; j < col; j++) {
		for (int i = 0; i < row; i++) {
			res1[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}


void visit1(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= 1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= 3)
	{
		int k = j * 2 + i;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}

int main() {
	int martix[2][4] =
	{ {1,2,3,4},
		{5,6,7,8} };
	int res1[8];

	//二维转一维
	col_Reducedim(martix, res1, 2, 4); //列优先

	cout << "列转化后的一维数组为" << endl;
	Print(res1, 8);

	int a, b;
	cout << "对于列转换后的矩阵输入要访问的元素在二维数组中的行,列下标数(>=0)" << endl;
	cin >> a >> b;
	visit1(res1, a, b);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果

二.特殊矩阵的存储结构

1.普通矩阵的存储

对于普通的矩阵我们可以将其视为二维数组进行处理也就是按行优先和列优先的方式存储在之前也已经提到过

2.特殊矩阵的压缩存储

压缩存储指为多个值相同的元素所分配一个存储空间对零元素不分配存储空间用于节省空间

接下来我们来看几个典型的特殊矩阵

1.对称矩阵

对于一个n阶的方阵我们可以将其划分为主对角线上三角区和下三角区而对于对称矩阵来说有$a_{ij}=a_{ji}$因此若仍然采用二维数组存储会造成一半的空间浪费

策略

因此我们其实只需要 存主对角线和下三角块 即可

对称矩阵与存储后一维数组的映射关系

我们规定矩阵元素的下标 $ij$的范围为 $[1,n]$而一维数组的下标默认是从0开始的

1. 一维数组大小
   第一行一个元素$a_{11}$
   第二行两个元素$a_{21},a_{22}$
   …
   共有 $n$ 行则元素总数 $k=n\ast (n+1)/2$

2. 压缩存储后的访问

   又回到了压缩完成之后我们应该如何获取这些数据呢

   我们只需要定义一个映射函数即可

策略

不难发现如果我们希望取出二维数组内的元素 $a_{ij}$我们已知了它的行号和列号

①先看行向
在$a_{ij}$上面的元素即前$i-1$行的元素个数为
 

$i\ast (i-1)/2$

②再看列向
在$a_{ij}$前面的元素即前$j-1$行的元素个数为:
 

$j-1$

由于一维数组下标是从$0$开始的因此$a_{ij}的一维数组下标=在a_{ij}前的元素个数$

再由 $a_{ij}=a_{ji}$因此映射函数为

完整代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

//打印下三角
void triangle(int a[][3], int* res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (i >= j)
				res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

//访问
void visit(int res[], int i, int j)
{
	if (i >= j)
	{
		int k = i * (i - 1) / 2 + j - 1;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
	{
		int k = j * (j - 1) / 2 + i - 1;
		cout << res[k] << endl;
	}
}

//打印一维数组
void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}

int main() {
	int martix[3][3] =
	{	{1,2,3},
		{2,1,2},
		{3,2,1} };
	int res[6];

	triangle(martix, res, 3, 3);
	cout << "下三角的一维数组为" << endl;
	Print(res,6);

	int i, j;
	cout << "请输入需要访问的元素aij中的下标i,j(>=1)" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit(res, i, j);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果

2.三角矩阵

三角矩阵就是有一个三角区全为常量的矩阵

策略

其储存思维和对称矩阵类似不同之处就在于

✅ 存储完下三角区和主对角线后紧接着存储对角线上方的常量也就是要在对称矩阵构造的一维数组后面添加一个常数项

1. 一维数组的大小

    

   $k=n\ast (n+1)/2$

2. 映射函数为

完整代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

//打印下三角
void triangle(int a[][3], int* res, int row, int col,int n)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (i >= j)
				res[p++] = a[i][j];
		}
	}
	//存常量
	int c = a[0][n-1];
	res[n * (n + 1) / 2] = c;
}

//访问
void visit(int res[], int i, int j,int n)
{
	if (i >= j)
	{
		int k = i * (i - 1) / 2 + j - 1;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
	{
		int k = n * (n + 1)/2;
		cout << res[k] << endl;
	}
}

//打印一维数组
void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}

int main() {
	int martix[3][3] =
	{ {1,4,4},
		{2,1,4},
		{3,2,1} };
	int res[6];

	triangle(martix, res, 3, 3,3);
	cout << "下三角的一维数组为" << endl;
	//加一个常数项
	Print(res, 6+1);

	int i, j;
	cout << "请输入需要访问的元素aij中的下标i,j(>=1)" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit(res, i, j,3);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果

3.三对角矩阵

三对角矩阵也称带状矩阵对于n阶方阵的A中的任一元素$a_{ij}$当$|i-j|>1$时$a_{ij}=0$

策略

将三条对角线上的元素按行优先原则存放在一维数组中(零元素不存)

1. 一维数组的大小
   由于只有第一行和最后一行只有两个元素因此一维数组大小为
    

   $len=3n-2$

2. 映射函数为
   由于前$i-1$行有$3i-1$个元素当前行前面有$j-i+1$个元素
    

   $k=2i+j-3$

---

反之若我们已知 $a_{ij}$存放于一维数组中的第 k个位置怎么推出行数和列数呢

$i=\lceil (k+2)/3\rceil$ 再由公式$k=2i+j-3$可以推出$j=k-2i+3$

完整代码实现

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;


//转一维矩阵
void Three(int a[][4], int* res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (a[i][j] != 0)
				res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

void Print(int a[],int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}

void visit1(int a[], int i, int j)
{
	int k = 2*i + j - 3;
	printf("a%d%d=%d\n", i,j,a[k]);
}

void visit2(int a[], int k)
{
	int i, j;
	i = ceil((k + 2) / 3);
	j = k - 2 * i + 3;
	printf("访问的元素为:a%d%d\n", i, j);
}


int main() {
	int martix[4][4] =
	{
		{1,2,0,0},
		{1,2,3,0},
		{0,2,3,4},
		{0,0,3,4}
	};
	int res[10];

	//转一维
	Three(martix, res, 4, 4);
	cout << "三对角的一维矩阵为" << endl;
	Print(res, 10);

	//正向访问
	int i, j;
	cout << "请输入需要访问的元素aij中的下标i,j(>=1)" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit1(res, i, j);

	//反向访问
	int k;
	cout<<"请输入该元素在一维数组中的下标" << endl;
	cin >> k;
	visit2(res, k);


	system("pause");
	return 0;
}

输出结果

4.稀疏矩阵

还有一种特殊矩阵其矩阵内的非0元素远远少于零元素则称其为稀疏矩阵

$e.g$ 如下矩阵

我们只存取非零元素但其分布往往没有规律因此我们还应该记录它的位置

策略

将非零元素的行列值构成一个三元组$行标列标值$

✅ 我们用结构体定义这个三元组

#define Maxsize 100

//结构体定义三元组
typedef struct {
	int i;
	int j;
	int val;
}Triple[Maxsize]; //结构体数组

完整代码实现

#include<iostream>
#define Maxsize 100
using namespace std;

//结构体定义三元组
typedef struct {
	int i;
	int j;
	int val;
}Triple[Maxsize]; //结构体数组


//稀疏矩阵转三元组
void triple(Triple &T,int a[][5],int row,int col,int &p)
{
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (a[i][j] != 0) {
				T[p].i = i+1;
				T[p].j = j+1;
				T[p].val = a[i][j];
				p++;
			}
		}
	}
}

void Print(Triple &T,int len) {
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		printf("a%d%d=",T[i].i,T[i].j);
		cout << T[i].i<< " " << T[i].j << " " << T[i].val << endl;
	}
}

int main() {
	int martix[5][5] =
	{
		{0,2,0,0,0},
		{0,0,1,0,2},
		{3,0,0,0,1},
		{0,5,0,0,0},
		{1,0,4,0,0}
	};
	Triple T;
	int p = 0;

	//稀疏矩阵转三元组
	triple(T, martix, 5, 5, p);
	cout << "转化后的三元组为矩阵元素下标从1开始:\n" << endl;
	Print(T, p);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果

---

 

本节详细讲解了数组相关操作及各种特殊矩阵的压缩存储方式~

如有错误欢迎指正~