旋转矩阵及左右乘的意义别浪费时间了看这一篇就够了

前言

这些天研究旋转矩阵被教科书和视频课绕迷糊了可悲的是 如此简单的概念竟然没有一篇文章 至少我没搜到能够直观解释清楚一气之下我决定自己研究经过不懈努力终于解决了这一可爱又可恨的概念也希望看到这篇文章的人能够静下心来好好阅读对你肯定有帮助。

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一、什么是旋转矩阵

首先我需要花点儿时间说一下旋转矩阵的意义大家一定一定要清楚旋转矩阵是有两个含义的坐标变换和旋转向量为了方便大家理解我举最简单的例子。

1.坐标变换

如图所示对于p点或者叫向量可以分别在不同坐标系下表示红色坐标系绕黑色坐标系旋转了α角度

其坐标变换关系如下

该变换关系由几何关系推导出具体细节先不管我们看上式写成矩阵形式是啥样

中间的2×2矩阵即为我们所说的旋转矩阵这里特别要注意这个矩阵的意义是将p点在旋转后的坐标系红色中的坐标转换为旋转前的坐标系黑色中的坐标。

为什么会这样呢从代数的角度出发最容易理解请不要嫌麻烦一步一步跟我来
旋转矩阵的列向量

可以看出根据几何关系写出的旋转矩阵其列向量恰好为旋转后坐标系红色的坐标轴在旋转前的坐标系黑色中的坐标或者叫方向余弦。

也就是说我想写出坐标系B相对于坐标系A的旋转矩阵只需要将坐标系B相对于坐标系A的方向余弦写成矩阵的形式即可如下图所示

看到这个矩阵不要蒙单独看其中一列就是B坐标系的某一轴在A坐标系的X轴、Y轴和Z轴的投影也就是我们所说的方向余弦这里不做过多解释。

接着我们把这个一般形式的全貌写出来

取第一行其实际运算的时候是这样

看最左侧为p点向量在A坐标系下的x方向坐标以此类推旋转矩阵将p点在B坐标系下的坐标转换为在A坐标系下的坐标。

2.向量旋转

旋转矩阵除了坐标变换的功能还有一个功能就就是能够将向量旋转这个我们仍然可以用代数的角度去考虑
向量p经过旋转矩阵变换后变为p’如图所示

可以看出原本的向量p经过与旋转矩阵相乘变换到了新的p’位置并且二者夹角为α。我可以很明确告诉你这步操作的旋转矩阵同上一述坐标变换的旋转矩阵一样

到这您可能会问了同一旋转矩阵为何有两种功能呢

好看代数上述操作可以写如下形式

再看第一行

发现没有蓝框里表示坐标系B中的一个向量只不过该向量的坐标与坐标系A中的向量坐标相同。也就是说旋转矩阵先将坐标系旋转再在旋转后的坐标系上取与原坐标系坐标相同的向量然后再将其投影到原坐标系得到旋转后向量的坐标。

我想了很多话去形容这种操作后来发现还是画图直观请往下看

画坐标系A和B将坐标系B绕A旋转α角度

再在图中加一个点p并标出坐标

在坐标系B中取与坐标系A相同的坐标画点记为p‘注意是相同的坐标

得到p‘点在A坐标系上的坐标

拿掉B坐标系发现向量p发生了旋转坐标系B仅起到中介作用可以理解为向量p绕坐标系A转动了一定的角度

至此我想大家了解了旋转矩阵的两种功能一个是坐标变换一个是向量旋转同样的旋转矩阵同样的式子就看你自己怎么解释了这点来讲很重要大家一定要清楚。

我知道到这里肯定还有人和我一样不是很懂我再加以说明

看这两个式子

上面为坐标变换下面为向量旋转旋转矩阵肯定是一样了那如果我右边蓝色方框中向量取的数值一样呢那么左边数值是不是也一样那左右数值的物理意义到底是什么呢这就得看你怎么解释了你解释成向量旋转也好你解释成坐标变换也好都可以。

二、矩阵的左右乘

可能大家都听到过左乘旋转矩阵绕固定坐标系旋转右乘旋转矩阵绕自身坐标系旋转。单纯记这句话很容易让人产生误解首先这里的左右乘指的并不是某一向量左乘或者右乘旋转矩阵而是多个旋转矩阵的组合方式是左乘还是右乘。其次这句话还遗漏了一个相当重要的信息绕固定坐标系旋转讨论的是向量的旋转绕自身坐标系旋转讨论的是坐标变换这是完全不一样的两种功能例如我想研究向量的旋转我可以也只可以将其视为向量绕固定坐标系的旋转。往下看。

1.旋转矩阵左乘

我想要一个向量p0先绕x轴转α度再绕y轴转β度最后绕z轴转γ度求旋转后向量的位置。
可见这是一个旋转矩阵组合的问题之前讨论过向量绕某一坐标轴旋转在数学上展现为向量左乘旋转矩阵我们按照题意当然是先让它绕x轴旋转

再绕y轴旋转

再绕z轴旋转那么p3即为所求向量

连起来就是

总的旋转矩阵R

重点来了让向量p0先后绕x、y、z轴旋转其总的旋转矩R为绕x轴旋转的矩阵左乘绕y
轴旋转的矩阵再左乘绕z轴旋转的矩阵。
由此才引入的那句话左乘绕固定坐标系旋转现在我们来改一下应该这么说 讨论向量旋转问题时认为向量绕固定坐标轴旋转旋转矩阵按旋转次序依次左乘得到最终的旋转矩阵R。

2.旋转矩阵右乘

右乘讨论的就是坐标变换了来看问题已知在C坐标系下表示的向量pC我想求pC在原始坐标系0下的表示p0已知C坐标系由原始坐标系0绕轴X0旋转α度成为坐标系A再绕轴YA旋转成为坐标系B再绕轴ZB旋转成为坐标系C。

这里逻辑不通的就多琢磨一会儿脑补一下咋转的这次是绕自身坐标系旋转。

还记得之前那个图吗我给你拿到这里来再看一下

再复习一遍p点在B坐标系下的坐标乘以旋转矩阵得到的是在A坐标系下的坐标而B坐标系是由A坐标系转了α角转过去的可以发现这是一种“退回”效果也就是p点在旋转后的坐标系下的坐标左乘旋转矩阵后会变为旋转前坐标系下的坐标这种效果表明旋转后的坐标系一定是绕旋转前坐标系的某一轴转过去的对于旋转前的坐标系可以理解为绕自身坐标系的坐标轴旋转后成了旋转后的坐标系。换句话说因为你退回来得到的是前坐标系下的坐标你转过去也必须是绕前坐标系中的坐标轴转过去的故我们称之为绕自身坐标系旋转感觉绕的话就多读两遍这里一定要懂。

再回过来看咱不是已知pC求p0吗那咱们就一步一步往回退退到坐标系0为止
首先由坐标系C退回到坐标系B应该说p向量在C系中的表示变换为在B系中的表示:

再由坐标系B退回到坐标系A:

再由坐标系A退回到坐标系0

连起来为

总的旋转矩阵R为

之前说过坐标系C是由坐标系0经过绕轴X0变为坐标系A再绕轴YA变为坐标系B再绕轴ZB旋转才得到的为了使其退回去看看旋转矩阵R的写法是不是绕x轴旋转矩阵右乘y轴旋转旋转右乘z轴旋转矩阵这就是我们所说的绕自身坐标轴旋转要右乘旋转矩阵。

总结

根据大数定律以及正态分布我们大多数人的智商都处于人类的平均水平可是精英教育不允许出现这种基础且冗长的讲解方式晦涩难懂的课本、千篇一律的ppt、漫不经心的讲解是我们普通学生汲取知识的最大障碍这就导致很大一部分人是看不懂课本跟不上课程的csdn的出现或许能够为普通学生的学习搭建一个快速通道我希望大家能共同努力以尽可能通俗易懂的角度来说明问题一起营造好的知识环境。
如有错误请指正如有好的概念请补充。