【MATLAB】求解约束条件下的目标函数最值（fmincon用法解析）_fmincon函数用法

一、简介

Matlab 的函数 fmincon 用来求最小约束非线性多变量函数是一个非线性编程求解器算出指定的问题的最小值。

注 fmincon 同样可以用来求约束条件下的最大值主要将目标函数取反前面加一个负号即可。

二、fmincon()的基本形式与参数

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

输入参数

1. fun 是目标函数注意需要单引号或者@即写为符号函数
2. x0函数fun参数值的初始化
3. 参数值的线性不等式约束 A, bA * x <= b
4. 参数值的等式线性约束 Aeq, beq; (Aeq * x = beq)
5. 参数值的下界和上界 lb, ub
6. 使用 options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。
7. 非线性约束nonlcon其参数值一般为约束函数。如果没有非线性不等式或等式约束请设置 nonlcon = []。

输出参数

1. X 输出最优参数值
2. Fval 输出 fun 在X参数的值
3. Exitflag 输出fmincon额外条件值

fmincon 求解函数的基本形式

三、约束条件类型与参数写法

约束条件下的函数极值有是三种情况
1线性不等式约束
2线性等式约束
3非线性不等式和等式约束

1.线性不等式约束参数写法

线性不等式约束条件如下

将不等式化为矩阵形式

fmincon函数的参数可以确定为

A = [1,2; 3,4; 5,6]; 
b = [10; 20; 30];

2.线性等式约束参数写法

线性等式约束条件如下

同理转换为矩阵后可知约束参数为

Aeq = [1,2,3; 2,4,1]; 
beq = [10; 20];

3.非线性约束参数写法

非线性约束条件如下

确认为参数时需要设置为函数形式、。

function [c,ceq]=mycon(x)
c=-x(1)^2+x(2);  %此处不要忘记将不等式改成不等式<=0的标准形式
ceq=-x(1)-x(2)^2+2;

注函数调用时nonlcon 参数值为 ‘函数名’

四、例题

1线性不等式约束下求最值示例

以上是关于求目标函数

$f=100\ast x_2-x_1{}^2+(1-x_1{)}^2$

在线性约束 $x_1+2x_2\le 1$ 条件下的最小值结果如下

目标函数

function f = fminx(x)
    f = 100 * (x(2) - x(1)).^2 + (1-x(1)).^2;
end

fmincon函数的使用

[x,fval,exitflag] = fmincon(@(x) fminx(x),[0,0],[1,2],[1])

结果

x =

    0.3363    0.3319


fval =

    0.4425


exitflag =

     1

注结果含义为 在$x_1=0.3363,x_2=0.3319时取最小值y=0.4425$

2线性不等式和等式约束条件下求最值示例

目标函数 $f=100\ast x_2-x_1{}^2+(1-x_1{)}^2$
约束条件

这次使用目标函数为匿名函数的方式一步到位

fun=@(x)100*(x(2)-x(1))^2+(1-x(1))^2;
x0=[0,0];
A=[1,2];
b=10;
Aeq=[3,4];
beq=20;
[x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

结果为

x =

    2.8511    2.8617


fval =

    3.4378


exitflag =

     1

3非线性约束下求最值示例

上面两题只有目标函数是非线性的如果其约束条件也是非线性的我们又该怎么办呢

示例1

目标函数求值代码

fun=@(x)x(1)^2+x(2)^2+12;
x0=rand(2,1);
A=[];   
Aeq=[];
b=[];
beq=[];
lb=[0,0];
ub=[];
exitflag=1;
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon')

非线性约束条件:

function [c,ceq]=mycon(x)
c=x(1)^2+2*x(2); 
ceq=5*x(1)-4*x(2)^2-20;

结果为

x =

    1.2471
    0.0000


fval =

   13.5552


exitflag =

    -2

示例2

目标函数为: $fun=100\ast (x_2-x_1{)}^2+(1-x_1{)}^2$

约束条件在以$1/31/3$为圆心1/3 为半径,$0\le x_1\le 0.50.2\le x_2\le 0.8$ 的边界约束

function f=fun1(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
end

function [g,h]=fun2(x)
g=(x(1)-1/3)^2+(x(2)-1/3)^2-1/9;
h=[];
end

[x,y]=fmincon('fun1',[1/3,1/3],[],[],[],[],lb,ub,'fun2')

结果如下:

x =
    0.5000    0.2500
y =
    0.2500

五、总结

非线性规划求最值的fmincon函数其实和线性规划的improg大同小异关键是对非线性约束条件的把握即nonlcon以及option一般情况下我们不用管默认值就可以了有需求具体查阅使用即可。

参考博客|

https://blog.csdn.net/qq_52753078/article/details/121244164

https://blog.csdn.net/qq_36932020/article/details/98670486