Python矩阵相乘_python 矩阵相乘
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1 引言
矩阵相乘分为叉乘和点乘叉乘就是矩阵的乘法指矩阵A的第一行乘以矩阵B的第一列各个元素对应相乘后求和作为第一个元素的值。能够进行叉乘运算的场景A的行数等于B的列数。
矩阵的点乘就是矩阵A和矩阵B各个对应元素的相乘。能够进行点乘运算的场景①A和B的行向量个数相等② A和B的列向量的个数相等③ A和B的行向量和列向量都相等。
在matlab里面实现点乘用“.*”实现叉乘用“*”非常清晰明了。但是在Python里面实现矩阵相乘时经常会报错原因是在Python里面向量和矩阵的概念和数学里面的概念有点差异。
2 Python里向量和矩阵的概念
Pyhton的向量和矩阵是严格区分开来的这个和数学上或者Matlab里的概念是不一样的
向量一维
矩阵最少是二维。
举例
import numpy as np
A=np.array([1,2,3]) #一维向量shape=(3,)
B=np.array([[1,2,3]]) #二维数组shape=(1,3)
print(f'A={A}')
print(f'B={B}')
print(f'A.shape={A.shape}')
print(f'B.shape={B.shape}')
print(f'A.T={A.T}')
print(f'B.T={B.T}')
运行结果如下
A=[1 2 3]
B=[[1 2 3]]
A.shape=(3,)
B.shape=(1, 3)
A.T=[1 2 3]
B.T=
[[1]
[2]
[3]]
代码中
① A是向量其shape为(3,)其B是行数为1的二维数组其shape为(1,3)
② 向量没有转置的概念。A的转置还是A而B的转置是从行数为1的二维数组变成了列数为1的二维数组这一点和matlab里面是不一样的。
由于以上两点原因在计算矩阵相乘时初学者很容易犯错。
3 矩阵相乘——Python
一般情况下矩阵相乘会有以下三种想要的结果
① 对位乘积两个矩阵shape相同各元素对应相乘结果是一个相同shape的矩阵
② 矩阵乘法数学上的矩阵乘法结果是一个矩阵
③ 向量内积对应元素相乘再相加结果是一个数值
对应的实现方式如下
① 对位乘积 a*b 、multiply(a,b)
② 矩阵乘积 dot(a,b) 、matmul(a,b) 、a@b
③ 向量内积 dot(a,b)、a@b 当a,b均为一维向量
实际上对位乘积采用的是点乘矩阵乘积或者向量内积采用的是叉乘。
4 Python矩阵相乘举例说明
从Python里面向量和矩阵的概念可知向量和矩阵可以分为三种形式一维向量、行数为1或者列数为1的二维矩阵、行数和行数均大于等于2的二维矩阵。对于初学者来说很容易把一维向量和行数为1或者列数为1的二维矩阵弄混从而导致矩阵相乘出错。本文介绍了一种可以适用所有情况的矩阵相乘的表示方法即只要能先将A和B的形式定义清楚就能在实现点乘和叉乘时不出错。
矩阵的乘法有三种情况对位乘积、矩阵乘法、向量内积。对位乘积的结果是一个矩阵矩阵乘法的乘积是一个矩阵向量内积的结果是一个数所以A和B的形式定义的思路如下
① 对于对位乘积、矩阵乘法其应用对象是矩阵当A和B其中任意一个为向量时先将向量转换成行数为1或者列数为1的二维矩阵再参与运算
② 对于向量内积其应用对象是向量当A和B其中任意一个为行数为1或者列数为1的二维矩阵时先将行数为1或者列数为1的二维矩阵转换成一维向量再参与运算
只要遵守上述两点原则矩阵相乘就不会出错。实现上述两点的语法如下
① 向量转二维矩阵采用newaxis
import numpy as np
A=np.array([1,2,3]) #向量shape=(3,),不能进行转置操作
print(A)
A=A[:,np.newaxis].T #二维数组shape=(1,3)可以进行转置操作
print(A)
运行结果如下
[1 2 3]
[[1 2 3]]
② 二维数组转向量采用ravel()函数
import numpy as np
A=np.array([[1,2,3]]) #二维数组shape=(1,3)可以进行转置操作
print(A)
A=A.ravel() #向量shape=(3,),不能进行转置操作
print(A)
运行结果如下
[[1 2 3]]
[1 2 3]
4.1 对位乘积举例说明
对位乘积点乘前提条件① 行数、列数都相等② 行数或者列数其中之一相等。
① 场景1二维矩阵.*二维矩阵没有向量
import numpy as np
#------没有向量的场景,二维数组*二维数组-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #行数为3列数为2二维数组
B=np.array([[1,2],[1,2],[1,3]]) #行数为3列数为2二维数组
C=np.array([[2,1]]) #行数为1列数为2的二维数组
D=np.array([[3],[1],[2]]) #行数为3列数为1的二维数组
print(f'A*B={A*B}') #矩阵点乘
print(f'A*C={A*C}') #行数不够采用广播机制进行运算
print(f'A*D={A*D}') #列数不够采用广播机制进行运算
运行结果如下
A*B=[[ 1 4]
[ 4 10]
[ 3 18]]
A*C=[[2 2]
[8 5]
[6 6]]
A*D=[[ 3 6]
[ 4 5]
[ 6 12]]
② 场景2二维数组.*向量
import numpy as np
#------二维矩阵*向量-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #二维数矩阵,shape=(3,2)
B=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) #二维矩阵shape=(2,3)
C=np.array([2,1,2]) #向量,shape=(3,)
C=C[:,np.newaxis] #将C从向量变成二维数组shape=(3,1)
print(f'A*C={A*C}') #A的行数等于C的行数广播机制
print(f'B*C.T={B*C.T}') #B的列数等于C.T的列数广播机制
运行结果如下
A*C=[[ 2 4]
[ 4 5]
[ 6 12]]
B*C.T=[[ 2 2 6]
[ 8 5 12]]
4.2 矩阵乘法
矩阵乘法的前提条件A×BA的列数等于B的行数
① 场景1二维矩阵×二维矩阵没有向量
import numpy as np
#------二维矩阵×二维矩阵-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #二维数组,shape=(3,2)
B=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) #二维矩阵shape=(2,3)
C=np.array([[2,1]]) #二维矩阵shape=(1,2)
print(f'A×B={A@B}') #A的列数等于B的行数
print(f'A×C={A@C.T}') #A的列数等于C.T的行数
运行结果如下
A×B=[[ 9 12 15]
[24 33 42]
[27 36 45]]
A×C=[[ 4]
[13]
[12]]
② 场景2二维矩阵×向量
#------二维矩阵×向量-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #二维数组,shape=(3,2)
B=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) #二维矩阵shape=(2,3)
C=np.array([2,1]) #向量shape=(2,)
C=C[:,np.newaxis] #转换成二维矩阵shape=(2,1)
print(f'A×C={A@C}') #A的列数等于C的行数
print(f'B×C={B.T@C}') #B.T的列数等于C的行数
运行结果如下
A×C=[[ 4]
[13]
[12]]
B×C=[[ 6]
[ 9]
[12]]
4.3 向量内积
向量乘积的前提条件是向量的长度相等。
① 场景1向量×向量
import numpy as np
#----向量×向量
A=np.array([1,2,3]) #向量shape=(3,)
B=np.array([2,3,1]) #向量shape=(3,)
print(A@B)
print(A@B.T)
print(A.T@B)
print(A.T@B.T)
运行结果
11
11
11
11
可以看出Python里面向量没有转置的概念。
② 向量×二维数组
import numpy as np
#----向量×二维数组
A=np.array([1,2,3]) #向量shape=(3,)
B=np.array([[2,3,1]]) #二维数组shape=(3,1)
B=B.ravel() #二维数组转换成向量shape=(3,)
print(A@B)
print(A@B.T)
print(A.T@B)
print(A.T@B.T)
运行结果
11
11
11
11
如果不将二维数组转换成向量后面的程序会报错。
广播机制参考链接