机器学习-PCA

前言

PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据降维方法，它的主要思想是将高维数据降维到一个低维空间，同时保留尽可能多的原始数据的信息。

定义

PCA (Principal Component Analysis) 是一种常用的数据降维算法，用于对高维数据进行降维和特征提取。它的主要思想是通过对数据的协方差矩阵进行特征值分解，选择前 k 个特征值最大的特征向量作为新的主成分，将原始数据投影到主成分空间，从而实现数据降维。

PCA 常用于数据降维、数据可视化、数据压缩等场景，其特点是可以有效的降低数据维度，保留数据的主要特征。

PCA步骤

1. 中心化：将数据的每一个特征列减去该列的平均值，使得每一个特征的均值为 0。
2. 协方差：计算样本的协方差矩阵，该矩阵表示各个特征之间的关系。
3. 特征分析：对协方差矩阵进行特征分析，得到特征值和特征向量。特征向量表示了新的坐标轴的方向，特征值表示了新坐标轴的方差。
4. 降维：选择特征值较大的特征向量，构造新的坐标系，将原始数据投影到新的坐标系上，从而达到降维的目的。

​ 这些步骤通过计算的过程可以得到一个主成分的矩阵，该矩阵的列表示了新的坐标轴，行表示了每一个样本在新坐标系上的坐标。

​ PCA 算法的一个重要优点是可以有效的降低数据的维度，降低数据的维数对于降低算法的复杂度和避免过拟合都有很重

PCA 优点

1. 简化数据：PCA 可以有效的降低数据的维度，简化数据，便于后续数据分析。
2. 减少噪声：PCA 可以把噪声数据降低到最小，提高数据的质量。
3. 可视化：PCA 可以将高维数据映射到二维或三维空间，便于人眼观察和可视化。
4. 去冗余：PCA 可以消除数据中的冗余信息，只保留主要信息。

PCA 缺点

1. 信息损失：PCA 为了降低数据的维度，可能会导致一定的信息损失。
2. 难以解释：PCA 降维后的数据维度和特征很难被人类直接理解和解释。
3. 不适用于非线性数据：PCA 适用于线性数据，对于非线性数据，PCA 可能不能得到理想的结果。

所以在使用PCA时，要根据你的实际情况权衡利弊，结合其他算法一起使用

代码

import numpy as np

# 使用这段代码可以实现将原始数据降维至指定的维数，并返回降维后的数据

def PCA(X, k=None):
    """
    X: m x n 的数据矩阵，m 表示样本数量，n 表示每个样本的特征数
    k: 需要保留的主成分数量，如果不指定，则保留所有的主成分
    """
    # 对样本进行中心化
    X_mean = np.mean(X, axis=0)
    X = X - X_mean

    # 计算协方差矩阵
    cov_matrix = np.cov(X.T)

    # 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)

    # 对特征值进行排序，从大到小
    eigenvalues_sorted_index = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
    eigenvalues = eigenvalues[eigenvalues_sorted_index]
    eigenvectors = eigenvectors[:, eigenvalues_sorted_index]

    # 根据 k 的值选择保留的主成分数量
    if k is not None:
        eigenvalues = eigenvalues[:k]
        eigenvectors = eigenvectors[:, :k]

    # 计算降维后的数据
    transformed_X = np.dot(X, eigenvectors)

    return transformed_X